Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм.
Определение: Параллелограммом называется четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно параллельны.
На рисунке изображен параллелограмм ABCD: AB||CD, AD||BC. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
B
A
C
D

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. слева). Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC-общая сторона, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD,
AD=BC, и B= D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем
A= 1+ 3= 2+ 4= C.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть О - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. справа). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.

Признаки параллелограмма
1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник-параллелограмм.
Пусть в четырехугольникеABCD стороны AB и CD параллельны и AB=CD(см.рис). Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AC-общая сторона, AB=CD по условию, 1= 2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому 3= 4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно, AD||BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит четырехугольник ABCD-параллелограмм.

Признаки параллелограмма
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Проведем диагональ AC данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA (см.рис.). Эти треугольники равны по трем сторонам (AC-общая сторона, AB=CD и BC=DA по условию), поэтому 1= 2. Отсюда следует, что AB||CD. Так как AB=CD и AB||CD, то по признаку 1 четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Признаки параллелограмма
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см.рис.). Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (AO=OC, BO=OD по условию,
AOB= COD как вертикальные углы), поэтому AB=CD и 1= 2.
Из равенства углов 1 и 2 следует, что AB||CD.
Итак, в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1 четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами (рис.слева)
Основание
Основание
Боковая сторона
Боковая сторона
Трапеция называется равнобедренной , если ее боковые стороны равны (рис.посередине). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис.справа).
Равнобедренная
трапеция
Прямоугольная
трапеция