Перетворення подібності. Гомотерапія

Спроби правильно відобразити на плоскому рисунку природні форми предметів були задовго до виникнення писемності – люди малювали на стінах печер рослини, тварин тощо. Тривала практика підказувала митцям, як передати на рисунку зображуваний предмет - так зароджувалося вчення про відповідності й перетворення.
За допомогою геометричних перетворень і комп’ютерної графіки кінематографи бентежать уяву глядача дивовижними образами і незвичайними перевтіленнями на екрані.
Перетворення допомагають художникам правильно будувати композиції картин , а хімікам – досліджувати структуру кристалів. На цьому уроці ми пригадаємо вже відомі вам основні види геометричних перетворень на площині та познайомимося з деякими новими. Але це буде нелегко.

Через терни до зірок. У житті нічого не дається задарма. Звичайно, якщо ви не зловили удачу за хвіст. Терни -це дуже колюча рослина, так ,уявіть, скільки потрібно пробиратися через ці тернии (праця,невлдачі, непорозуміння…), щоб добитися результату який ви бажаєте(зірки).
Це величезна праця, люди все життя домагаються бажаного. Є ті люди, які просто пливуть за течією і нічого не роблять що б жити краще.
Пам’ятаєте притчу про жаб? Одна
потонула склавши лапки, інша збила
масло і вибралася назовні. Так давайте будемо йти через терни, збивати масло.
Але жити так, щоб соромно нам не було
і все у нас було. Отож, вперед!

Через терни до зірок…

Працюй наполегливо,
Швидко, старанно,
Щоб кожна хвилина
Не втратилась марно.
Девіз уроку:

Терен №1

Терен №1
Хто зайвий ?

Терен № 2
“Згадати все”

Які перетворення ви вивчили ?

Перетворення фігур
Рух
О – центр симетрії ОХ1=ОХ,
ОY1=ОУ
Х1У1 = ХУ
l – вісь симетрії, МХ1=МХ, РY1=РY XX1⊥l, YY1⊥l
Х1У1 = ХУ
О–центр повороту ∠ХОХ1=∠YOY1=α,OX1=OX, OY1=OY
Х1У1 = ХУ
l – напрямлений вектор, ХХ1⎪⎪l, YY1 ⎪⎪l, X1=YY1=l
Х1У1 = ХУ

Перетворення симетрії в координатній площині
f(-х)=f(x)
Оу – вісь симетрії
у
f(-x) = -f(x)
О
О – центр симетрії

Побудувати образ трапеції ABCD при симетрії з віссю Оу.
Задача:
(3;1)
(1;1)
(0;-1)
(4;-1)
Побудова

B1(4;-4)
С(-2;1)
A1(4;-1)
C1(2;-1)
А(-4;1)
В(-4;4)
Задача:
Побудова
Побудувати образ трикутника АВС при симетрії з центром у початку координат.

Паралельне перенесення в координатній площині
А
В(х,у)
А1
В1(х',у')
х
у
х' = х+а,
у' = у+b

А(-6:3)
В(-1;3)
С(-2;1)
D(-5;1)
Побудувати образ трапеції ABCD при паралельному перенесенні на вектор a (4;-4).
Задача:
Побудова
A1(-2:-1)
B1(3;-1)
C1(2;-3)
D1(-1;-3)

Задача:
Побудувати образ трапеції ABCD при паралельному перенесені на вектор АD (на вектор ВС).
А(-6;1)
В(-4;3)
С(-3;3)
D(-1;1)
Перевір себе

C1(2;3)
D1(4;1)
B1(1;3)
A1(-1;1)
1 варіант (відповідь)
А
В
С
D

A1 (-5;1)
B1 (-3;3)
C1(-2;3)
D1(0;1)
2 варіант (відповідь)

M
N
N1
M1
Поворот в координатній площині
х
у
0
Поворот на 180о є центральна симетрія

1
1
X
Y
0
А(-4:-1)
В(-5;3)
D(-1;1)
С(-1;3)
A1(1;4)
B1(3;5)
C1(3;1)
D1(1;1)
Задача:
Побудувати образ трапеції АВСD при повороті на 90о навколо О(0,0) за годинниковою стрілкою.
Побудова

Терен №3
“Спробуй зрозумій”

Що ж таке ???????

Тема уроку:
Перетворення подібності. Гомотетія

Означення
Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F′, внаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k>0).
Число k>0 називається коефіцієнтом подібності.
Якщо k=1, то маємо переміщення.
Переміщення – окремий випадок подібності.
B
A
F
B’
A’
F’
A’B’= k AB

Які ж властивості має перетворення подібності ?

Властивість перетворення подібності
Теорема. При перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Властивість перетворення подібності

Властивості перетворення подібності
1) Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки.
2) Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k=1.
3) Перетворення подібності зберігає кути між променями.
А’
В’
С’
С
В
А
Трикутник АВС подібний трикутнику А’В’С’.
∠АВС=∠А’В’С’

Означення
Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F′, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х′ фігури F′ так, що точка Х′ лежить на промені ОХ і ОХ′= k ОХ (k – фіксоване додатне число).
F’
F
O
X’
X
Число k – коефіцієнт гомотетії, фігури F і F′ називають гомотетичними.

Які ж властивості має
гомотетія ?

Основна властивість гомотетії
Теорема. Гомотетія є перетворенням подібності.
Доведення.
Нехай точки О, Х, Y не лежать на одній прямій.
Гомотетія з центром О і коефіцієнтом k.
Точка Х – переходить в точку Х′, точка Y переходить у точку Y′.
Y’
Y
O
X’
X
За означенням гомотетії: ОХ′= k ОХ, ОY′= k ОY.
Отже, трикутники ОХY і ОХ′Y′ подібні за двома пропорційними сторонами й кутом між ними.

Властивості гомотетії
Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з коефіцієнтом k.
При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок – у паралельний йому відрізок;
кут – у рівний йому кут.
На координатній площині гомотетія точок А(х;у) і В(х1; у1) задається формулами:
х1= k х; у1= k у.

Коефіцієнт K…
Який він може бути?
Додатний

Коефіцієнт K…
Який він може бути?
Від’ємний

Коефіцієнт K…
Який він може бути?
Від’ємний ,дробовий

А як називаються фігури , що утворюються при перетвореннях подібності?
Подібні

Подібні фігури
Дві фігури називаються подібними, якщо вони
переводяться
одна в одну перетворенням подібності.

B1(2;-2)
С(-2;1)
A1(2;-1/2)
C1(1;-1/2)
А(-4;1)
В(-4;4)
Задача:
Побудова
Побудувати образ трикутника АВС при гомотетії з центром О(0,0) і k=-1/2 .

Терен №2
Будь уважний

Історичні відомості
Фігури, які мають однакову форму. Але різну величину, зустрічаються у вавілонських і єгипетських пам’ятках.
Учення про подібність фігур виникло в стародавній Греції в V-IV ст. до н. е. Його викладено в VI книзі “Начал” Евкліда. Теорія подібності ґрунтується на аксіомі паралельності.
Поняття подібності лежить в основі
складання географічних карт, планів, креслення рисунків.
Евклід жив у «315—255 р.р.. до НХ»;

Історичні відомості
Для побудови фігур, подібних до даних, є ряд практичних способів. Наприклад, для копіювання рисунків часто користуються палеткою ( від французького palette) – пластинкою з прозорого паперу, скла або целулоїду з нанесеною на ній сіткою ліній, що утворюють квадрати певного розміру. Накладаючи палетку на рисунок, який треба скопіювати, крапки або деталі , що потрапили в окремі квадратики палетки, переносять у відповідні квадратики тимчасової квадратної сітки, нанесеної на те місце, в якому треба зобразити копію того або іншого розміру.
Такий спосіб копіювання рисунків
був добре відомий художникам з
давніх часів.

Історичні відомості
Принципом подібності користувались ще художники і скульптори стародавнього Єгипту, коли їм треба було перевести рисунок на інше місце або збільшити його. У гробниці батька єгипетського фараона Рамзеса ІІ (ХІІІ ст. до н.е.) є стіна, вкрита сіткою квадратиків. За допомогою цієї сітки на стіну перенесено в збільшеному вигляді рисунки менших розмірів.
Для збільшення і зменшення рисунка в певному відношенні застосовують також пропорціональний циркуль. Його винайшов у 1607 році великий італійський вчений Галілео Галілей.
Знак ~ як знак подібності ввів у 1679р. Німецький учений Г.Лейбніц.
Галілео Галілей(1564-1642)
Готфрід Вільгельм Лейбніц
(1646-1716)

Історичні відомості
Застосовуючи поняття подібності астрономи визначали висоти місцевих гір за їх тінями.
Добре відома всім теорема Піфагора допускає узагальнення, а саме: якщо на катетах і на гіпотенузі прямокутного трикутника побудовано будь-які подібні між собою фігури площею Sa, Sb, і Sc так, що катети і гіпотенуза є відповідні відрізки цих фігур, то справедлива рівність: Sa + Sb =Sc.
Вважають, що цю теорему
відкрив Евклід; вона
міститься в VI книзі його
“Начал”. Теорема Піфагора
випливає з цієї загальної
теореми.
Піфагор Самоський (570—490 гг. до н.е.)

Історичні відомості
Поняття подібності лежить в основі моделювання. Принцип геометричної подібності переніс на галузь фізичних явищ ще 300 років тому І. Ньютон. Тепер метод моделювання дуже поширений і відіграє в науці і техніці важливу роль. Наприклад, при конструюванні літаків випробують їх моделі. Модель поміщають у так звану аеродинамічну трубу, крізь яку з великою швидкістю пропускають великий повітряний потік, і всебічно вивчають поводження моделі що ніби “нерухомо летить”. Потім математично
аналізують рух літака і
складають відповідні
рівняння.
Ісаак Ньютон (1642-1727р.р.)

Терен № 5
Знайди 10 відмінностей…

Перетворення фігур
Перетворення подібності
О – центр гомотетії,
OX1=k·OX, OУ1=k·OУ
Х1У1 = k·ХУ
Х1У1 = k·ХУ

Перетворення фігур
Рух
Перетворення подібності
х
у
х1
у1
О
х
у1
у
х1
О
Властивості руху і перетворення подібності
Зберігається взаємне розміщення точок на прямій.
Образом прямої, променя, відрізка є пряма, промінь, відрізок.
Зберігаються кути між променями.
Х1У1 = ХУ
Х1У1 = k·ХУ

На якому з малюнків зображено перетотворення подібності ?

Будь-які дві гомотетичні фігури подібні?
Будь-які дві подібні фігури гомотетичні?
Чи можна вважати рівні фігури подібними? А навпаки?
Чи правильно, що:

Коли це буде ?
За якої умови дві подібні фігури рівні?

Паралелограм із кутом 40˚ і паралелограм із кутом 145˚
Ромб із кутом 120˚ і ромб з діагоналлю, що дорівнює стороні
С) Чи будуть подібними:
1) два будь-яких квадрати
2) два будь-яких прямокутники
3) два будь-яких кола?
Чи подібні:

Тренувальні вправи
1. Позначте точки О і X. Побудуйте точку X', в яку переходить точка X при гомотетії з центром О і коефіцієнтом:
1) k=3 2) k = — 3 3) k=1/2
2. Гомотетія точку X переводить у точку X'. Побудуйте центр гомотетії, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:
1) 4; 2) -2; 3) 0,5.
3.Позначте точки О і А. Побудуйте точку А' так, щоб:
ОА' = ЗОА; 2) 0А' = -20А; 3) OA'= 1/3*OA.
4. Гомотетія з центром О точку А переводить у точку А'. Як розміщені точки А і А' відносно центра гомотетії, якщо:
1) k > 0 2) k < 0 3) k > 1?

Задача
Знайдіть рівняння кола, в яке переходить коло х² + у² = 4 внаслідок гомотетії з центром в точці О і коефіцієнтом гомотетії 0,5.

Терен № 6
Тест - драйв

Перетворення подібності та його властивості
1-варіант 2-варіант
Користуючись рисунком, назвіть точку, в яку внаслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 2 перейде:
точка L точка М
А. Точка L Б. Точка M В. Точка F Г. Точка К

2. Користуючись рисунком, визначте пряму, в яку внаслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 0,5 перейде:
пряма FK пряма АВ
А. Пряма DL Б. Пряма CM В. Пряма DC Г. Пряма LM
3. Користуючись рисунком до завдання 2, укажіть трикутник, у який внаслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 2 перейде:
трикутник ОСМ трикутник ODL
А. ΔОАК Б. ΔОВК В. ΔOAF Г. ΔOBF

Побудувати образ даної трапеції при гомотетії з центром О і коефіцієнтом k=-1.
Варіант 1
Дано: А(-6;1), В(-4;3), С(-3;3), D(-1;1)
Варіант 2
Дано: А(1;-3), В(3;-1), С(4;-1), D(6;-3)
Побудувати образ даної трапеції при гомотетії з центром О і коефіцієнтом k=-1.
Роздатковий матеріал

Терен № 7
Робимо висновки…

Перетворенням подібності є…
Поворот
Паралельне перенесення
Симетрія відносно точки
Симетрія відносно прямої
Гомотетія
Подібність= Гомотетія + рух

Які перетворення ви вивчили ?

Перевір себе
Назвіть основні види вивчених перетворень фігур.
На кругах Ейлера є інформація про поняття різних видів перетворень фігур. Які з тверджень правильні:
а) гомотетія є перетворення подібності;
б) перетворення подібності є гомотетія;
в) рух є перетворення подібності;
г) перетворення подібності є рух?
Відповіді:
Рух і перетворення подібності.
а), в).

Пора на перерву…
Завдання 19(1,2) ст.118
Теорія
Апостолова Г.В.
Параграф 14
Ст.113
2
2
1
1
Перетворення подібності к=2
Гомотетія з коефієнтом 2 відносно точки А

Збираємо зірочки…
Загадуємо бажання…
Мені на згадку приходять слова відомого поета
В. Симоненка:
Ти знаєш, що ти — людина?
Ти знаєш про це чи ні?
Усмішка твоя — єдина,
Мука твоя — єдина,
Очі твої — одні…
Будьте неповторними та неподібними ні на кого….

У Новому році бажаю:
12 місяців без хвороб
53 тижні позитиву
365 днів щастя
8760 годин успіху
525600 хвилин любові
31536000 секунд приємних моментів!
Галина Джох