Перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной

Определение
Перпендикуляром, проведённым из точки А
к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра
α
A
H
A ⏊ α
AH — перпендикуляр
H — основание
перпендикуляра

α
A
H
M

α
A
H
M

α
A
H
M

Определение
Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к плоскости α. Точка М называется основанием наклонной
α
A
H
M
AM — наклонная к плоскости
M — основание наклонной

α
A
H
M

α
A
H
M

Определение
Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α
α
A
H
M
MH — проекция наклонной AM

α
A
H
M

α
A
H
M
AH
AM
<
?
Вопрос: что больше перпендикуляр или наклонная?

α
A
H
M
Рассмотрим ∆AHM:

α
A
H
M
∆AHM:

α
A
H
M
∆AHM:
AH ⏊ α

α
A
H
M
∆AHM:
AH ⏊ α
AH
AM
<
АН — катет
АM — гипотенуза

α
A
H
M
P
K

α
A
H
M
P
K
AH — наименьшее расстояние
от точки A
до плоскости α

Определение
Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра АН, проведённого
к плоскости α
α
A
H

Задача
Дано:
AO = 3 ед.
AO ⏊ α
α
A
O
M
H
3
AM = АН = 5 ед.
5
5
Найти: MH
Решение:
∆АОМ: ОМ² = АМ² – АО²
ОМ² = 25 – 9 = 16
МН = 2 · ОМ = 2 · 4 = 8 (ед.)
Ответ: МН = 8 ед.