Понятие производной

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Тема 7. Производная и дифференциал
Лекция 7.1.
Понятие производной

Учебные цели:
1. Раскрыть содержание понятия производной.
2. Рассмотреть геометрический и физический смысл производной.
3. Сформировать представление о производных основных элементарных функций, правилах дифференцирования, производной сложной функции.

Учебные вопросы:
1. Определение производной
2. Геометрический и физический смысл производной.
3. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.

Начиная с сегодняшней лекции, мы переходим к изучению основных положений дифференциального исчисления – раздела математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И.Ньютона (1643 – 1727) и Г.Лейбница (1646 – 1716), проводившими исследования независимо друг от друга.

Создание дифференциального исчисления (наряду с интегральным исчислением) открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики и других точных наук. Благодаря дифференциальному исчислению неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники.

Центральным аппаратом дифференциального исчисления служат понятия производной и дифференциала. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов отношений некоторого типа бесконечно малых. Важнейшие из них – построение касательной к кривой и определение скорости движения точки.
На сегодняшней лекции мы изучим понятие производной, геометрический и физический смысл производной, правила дифференцирования, в том числе правила дифференцирования сложных функций.

Вопрос 1. Определение производной

Видим, что процесс нахождения производной по ее определению достаточно трудоемкий. Его применяют только для доказательства основных правил дифференцирования и формул для производных основных элементарных функций, которые сведены в таблицу производных.

Вопрос 2. Геометрический и физический смысл производной

Вопрос 3. Правила дифференцирования. Производная сложной функции