Планиметрия: задачи, связанные с углами. Применение тригонометрии в геометрических задачах

В треугольнике ABC , . Найдите высоту AH.
A
B
Р
H.
30
С
∆АВС - равнобедренный
Следовательно: Sin BAC = sin ABC = 0.25 = ¼
Найти АН можно из прямоугольного ∆ АВН
В этом треугольнике известно, что sinАВС = ¼
sinАВС = ─ = ─
АВ
АН
Найдем ½ АВ из прямоугольного ∆ АСР, где СР -высота.
1
4
Sin BAC = ─ = ─
СР
АС
СР
4√15
= ─
4
1
═> СР = √15
По теореме Пифагора найдем АР:
АР2 = АС2 – СР2,
АР2 =(4√15)2 – (√15)2,
АР2 = 152;
АР = 15;
15
АВ = 30;
30
АН
─
= ─
1
4
АН =7,5
Ответ: 7,5
1.1

В треугольнике ABC АС = ВС = , . Найдите высоту AH.
A
C
B
Перепишем условие: Sin BAC = sin ABC = 0.25 = ¼
В равнобедренном ∆ АВС построим высоту СР.
В прямоугольном ∆ АСР:
Р
Следовательно
По теореме Пифагора:
АВ = 60
В ∆АВН:
H.
АН = 15
Ответ: 15
∆АВС - равнобедренный
30
60
1.2

В треугольнике ABC АС = ВС = 50, sin BAC= 0,96, Найдите
высоту AH.
C
B
A
Н
50
50
∆АВС - равнобедренный
sin BAC= 0,96
═> sin АBC = ─ = ─ ;
96
100
25
24
Рассмотрим прямоугольный ∆ ВСР, где СР –высота ,
опущенная из вершины С равнобедренного ∆ АВС .
Р
sin АBC = ─ = ─ ;
24
25
СВ
СР
СР = 48.
По теореме Пифагора найдем РВ:
РВ2 = СВ2 – СР2,
РВ2 = 502 – 482,
РВ2 = (50 – 48)(50 + 48),
РВ2 = 2∙98 =4∙49,
РВ = 14;
АВ = 28.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН.
sin АBН = ── = ──;
АВ
АН
АН
28
АН =26,88
= ──
24
25
Ответ: 26,88
50
1.3

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №1
Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой. Сторона с, лежащая против прямого угла, - гипотенуза. Стороны а и в - катеты
C
А
В
α
с
а
b
┐

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №2
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой.
А
Р
С
В
СР – высота, медиана, биссектриса.
Медиана треугольника, проведенная из данной вершины, - отрезок
прямой, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей
стороны треугольника
Высота СР разделила ∆ АВС на два равных
прямоугольных треугольника

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №3
Основное тригонометрическое тождество
1.
2.
Формулы сокращенного умножения: