Предел последовательности. Урок 1

Цели урока:
ввести понятие предела последовательности;
рассмотреть свойства сходящихся последовательностей.

Числовые последовательности
Кратко последовательность обозначают символом {Хn} или (Хn), при этом Хn называют членом или элементом этой последовательности, n —номером члена Хn.
Числовая последовательность —это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел Хn, n € N, называют множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.

Множество значений последовательности
{(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1,
а множества значений последовательностей
{n ²} и {1/n} — бесконечны.
Последовательность, у которой существует предел,
называют сходящейся. Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не
является ее пределом.

Предел числовой последовательности.
Рассмотрим две числовые последовательности:
: 2, 4, 6, 8, 10, …, ,…;
: 1, , , , , … , …
Изобразим члены этих последовательностей
точками на координатных прямых.
Обратите внимание как ведут себя члены
последовательности.

Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности таковой точки не наблюдается.
Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет.

Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r -
положительное число. Интервал (a-r, a+r)
называют окрестностью точки a , а число r - радиусом окрестности.
Геометрически это выглядит так:

Теперь можно перейти к определению точки
«сгущения», которую математики назвали
«пределом последовательности».
Например:
(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.

Определение 2. Число
называют пределом
последовательности
, если в любой заранее
выбранной окрестности точки
содержатся
все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут: .
Читают:
стремится к .
Либо пишут: .
Читают: предел последовательности при
стремлении к бесконечности равен .

Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся.
Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Теорема 1
Если последовательность {X n} является возрастающей(или неубывающей) и ограничена сверху, т. е. X n≤M
для всех n, то она имеет предел.
Теорема 2
Если последовательность {X n} является убывающей (или невозрастающей) и ограничена снизу, т. е. X n≥M для
всех n, то она имеет предел.

Пример:
Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса , если
1.
Решение.

Определение: Число a называют пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , …
если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число a является пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».

Пример 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство:
Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство:
Пример 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо
равенство:
Пример 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство:
Пример 5 . Последовательность:
– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
Предел числовой последовательности

На уроке:
№1(1,3),
№4(1)

Домашнее задание.
§1стр. 44
№1(2,4)
№2(2,4,6)
№4(2)

Предел последовательности.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :
А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и
профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В.
Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.
А. Б. Жижченко. —
2-е изд. —
М. : Просвещение,
2010.— 336 с.
Урок 2.
МБОУ СОШ №103.
г.Нижнего Новгорода.
Учитель : Лукьянова Е.Ю.

Цель урока.
Рассмотреть свойства пределов числовых последовательностей;
Сформировать умения вычисления пределов.

Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
a1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .
Если при существуют такие числа a и b , что
и ,
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, выполнено условие,
то при существует предел дроби

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем
Ответ.

Пример 7 . Найти предел последовательности

Решение. Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.

Пример 8 . Найти предел последовательности

Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:
:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Ответ.

Пример 9. Найти предел последовательности

Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
.

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.

Пример 10. Найти предел последовательности

Решение. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство ,
получаем
Ответ. 1 .

На уроке:
№5(1,3,5)
№6(1,3)

Домашнее задание:
№5(2,4,6)
№6(2,4),стр.52

Практические задания
1. Запишите окрестность точки радиуса в виде интервала, если:
2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал:
3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса , если:

Итоговое практическое задание
Существует ли номер , начиная с которого все члены
последовательности попадают в окрестность точки
радиуса :
2. Постройте график последовательности
и составьте,
если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

Итоговое практическое задание
3. Найдите - й член геометрической прогрессии , если:
4. Вычислить:

Важно!
Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.

Рефлексия :
(Обучающиеся ставят звезду на картинку, которая соответствует их усвоению материала и внутреннему восприятию урока (Эффект множественного клонирования))
узнал новое
буду использовать
расскажу друзьям
было интересно