Производная

Тема
Геометрический смысл
производной

А
С
В
tg A-?
tg В -?
4
7
А
В
С
Найдите градусную меру В
3
Найдите градусную меру А
Устная работа
Вычислите tgα, если
α = 135°, 120°, 150°

Х
У
0
касательная
α
k – угловой коэффициент прямой (касательной)
Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x)
в точке с абсциссой равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке ( ; f( ) ), т.е.
Поскольку , то верно равенство

Если α < 90°, то k > 0.
Если α > 90°, то k < 0.
Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ.
0
Уравнение касательной

Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х₀
с положительной полуосью Ох?
Чему равен тангенс угла наклона
касательной к графику функции y = x² + 2
в точке х₀ = -1?

1
0
1
4
2
Задание №1.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ = -1.
подсказка
4
8

Задание №2.
Ответ:
6
8

Задание №3.
Ответ:

Задание №4.
На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-5;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней.
подсказка
2
Ответ: 4
0

Задание №5
К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135° к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён
график производной функции. Укажите количество точек
касания.
-1
Ответ: 5
tg 135° = -1, значит производная в точках касания равна -1
подсказка

Задание №6
0
1
1
3
К графику функции y = f(x)
проведена касательная в
точке с абсциссой х₀ = 3.
Определите градусную меру
угла наклона касательной,
если на рисунке изображён
график производной этой
функции.
Ответ:

Задание №7
По графику производной функции определите величину угла в градусах между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке х₀ = -3.
-3
1
Ответ:

Задание №8
Задание №9
Ответ:
Ответ:
подсказка
подсказка

Производная функции в точке
х = 4 – это производная в точке касания хо, а она равна угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ох
Задание №10
Прямая проходит через начало координат и касается
графика функции y = f(x). Найдите производную в точке х = 4.
Ответ:
подсказка

Задание №11
Ответ:

Решите самостоятельно следующие задания

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№1
№2
№3
№4
№8
№7
№6
№5
Проверьте себя

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны

Для вычисления углового коэффициента касательной достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов.

Так как касательная параллельна прямой y=8x+11, то их угловые коэффициенты совпадают, т.е. угловой коэффициент касательной равен восьми k = 8.
xo – абсцисса искомой точки касания

В результате решения будут найдены абсциссы двух точек касания, которые принадлежат графику данной функции.
Но только одна из этих точек принадлежит касательной у = -4х-11, чтобы определить какая, нужно найденные абсциссы подставить в оба из данных уравнений. Должны получиться верные равенства.
у
х
0
У = -4х-11

Памятка
Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке или значение производной функции в точке, надо найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение противолежащего катета к прилежащему.
Если на рисунке нет касательной, но известны точки, через которые она проходит, сначала надо провести касательную, а потом рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором найти отношение катетов.
Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох острый, то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке положительны.
Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох тупой, то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке отрицательны.

Ну кто придумал эту математику !
У меня всё получилось!!!
Надо решить ещё пару примеров.
Рефлексия