Решение логарифмических уравнений

1. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество.
2.Основные свойства логарифмов.
3. Частные свойства.

Основные свойства логарифмов

Частные свойства:

Решение логарифмических уравнений

Что значит «решить уравнение»?
Решить уравнение – это значит найти все его корни (решения) или установить, что их нет.

Что такое корень уравнения?
Корнем (решением) уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство.

Какие уравнения называют логарифмическим?
Логарифмическим уравнением – уравнение, содержащие неизвестное под знаком логарифма.

Определение простейшего логарифмического уравнения:
Уравнение вида log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением, оно равносильно уравнению х = ав, причём ни проверка, ни ОДЗ не требуется.
Простейшие логарифмические уравнения:
1. logх-18 = 1
2. log7(50х-1) = 2
3. log3х = log39
4. log7(2х-3) = log7х

метод решения с помощью определения логарифма;
применение основного логарифмического тождества;
метод потенцирования;
метод введения новых переменных;
метод логарифмирования;
метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию;
графический метод.
При решении логарифмических уравнений часто используются следующие методы:

Метод решения с помощью определения логарифма
Например, уравнение log а х = b (а > 0, а≠ 1, х>0 ) имеет решение x= ab
ПРИМЕРЫ:
1) log 4 x=2
2) log 0,5 x=2
3) log x 5=1
4) log 5 x=-2
x=16
x=0,25
x=5
x=0,04

Метод решения с помощью определения логарифма
ПРИМЕР:
logх-18 =1
Решение:
(х-1)1 = 8
х-1 = 8
х = 9

Метод решения с помощью определения логарифма
ПРИМЕР:
6) log7(50х-1) = 2
Решение:
72 = 50х-1
50х-1 = 49
х = 1

Применение основного логарифмического тождества: alog a b =b (где b>0, a>0 и a≠1)
Примеры: 1) 9x =0,7
2) 2x =10
3) 0,3x =7
Решение:
9x =0,7
9x =9 log 90,7
x= log 90,7
2x =10
2x =2 log 210
X= log 210
0,3x =7
0,3x =0,3 log 0,37
X= log 0,37

Метод потенцирования
Суть метода - переход от уравнения
log а f( х)= log а g(х)
к уравнению следствию f(х)=g(х).
При решении уравнений log a f(x) = log a g(х) часто происходит расширение области определения уравнения (за счёт решения уравнения f(х)=φ(х)),а значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив уравнение, следует проверить найденные корни подстановкой в данное уравнение.

Примеры на метод потенцирования
1) log3х = log39
Решение: 1) х=9 Проверка: подставим найденное значение x=9 в исходное уравнение log39 = log39
Ответ: х=9

2) log7(2х-3) = log7х
Решение: 2х-3=х; х=3
Проверка: подставим найденное значение x=3 в исходное уравнение log7(2.3-3) = log73;
log73 = log73
Ответ: х=3
Примеры на метод потенцирования

3) log 5 (2x+3)= log 5 (x+1)
Решение: log 5 (2x+3)= log 5 (x+1)
2x+3= x+1;
x=1-3=-2
Проверка: подставим найденное значение x= -2 в исходное уравнение log 5 (2x+3)= log 5 (x+1) и получим log 5 (2 . (-2)+3)= log 5 (-2+1), log 5 (-1)= log 5 (-1), это равенство неверно (оно не имеет смысла, так как выражения под логарифмом всегда больше нуля)
Ответ: нет решения
Примеры на метод потенцирования

4) log 5 x= log 5 (6-x2)
Решение:
Проверка:
1)
Ответ: 2.
не существует
-3 посторонний корень
2)
Примеры на метод потенцирования

Метод введения новых переменных
Суть метода -приведение логарифмического уравнения к квадратному
1) ввести новую переменную
2) решить уравнение
относительно y;
3) выполнить обратную подстановку и решить уравнения относительно х.

Метод введения новых переменных
Пример: 1)
Ответ:
;

Метод введения новых переменных
Решение: 2)
,
Ответ: 10