Решение СЛУ

Основные понятия
Общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с тремя неизвестными:
где - неизвестные переменные, - коэффициенты системы ( ),
- правые части или свободные члены.
Тройка чисел называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо получают верные числовые равенства.

Методы решения СЛУ с тремя неизвестными
Метод обратной матрицы
2) Метод Крамера

Метод обратной матрицы
Метод применим, когда число уравнений системы равно числу переменных и определитель матрицы системы отличен от нуля
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
С этой системой будут ассоциироваться 3 матрицы:
- матрица коэффициентов (она составлена из коэффициентов при неизвестных )
- матрица столбец неизвестных (она составлена из неизвестных входящих в СЛУ)
- матрица столбец свободных членов (она составлена из элементов которые не умножаются на переменную)

Метод обратной матрицы
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
т.е
Пусть . Тогда существует обратная матрица .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.

Пример1: Решите СЛУ матричным
способом
Решение:
Перепишем систему уравнений в матричной форме:
Так как
то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как:
⬄
⬄

Решите систему матричным методом:
Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы :
где

Решите систему матричным методом:
Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов:
Ответ: .

Метод Крамера
Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём

Решите систему методом Крамера:
Решение:
Вычислим определитель системы:
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
Составим и вычислим необходимые определители :