Решение уравнений и неравенств с модулем

Содержание
1. Определение модуля
2. Виды уравнений
3. Методы решения уравнений
4. Задания для самостоятельного решения
5. Выводы

Большинство уравнений с модулем можно решить
исходя из определения модуля:
Модулем или абсолютной величиной действи-тельного числа a называется неотрицательное число |a|, равное числу а, если а ≥ 0, и числу (−а), если а < 0.
Таким образом,

Геометрический смысл модуля
-a
a
0
A1
A
x
Модуль – расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, изображающей число.
OA=OA
1
|a|= |-a|
Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b.

1. |a|≥0
2. |a| = | − a|;
3.|a| ≥ a и |a| ≥ −a; или − |a| ≤ a ≤ |a|
4.|ab| = |a|・|b|; |a/b| = |a|/ |b|; (b≠0),
5.|a + b| ≤ |a| + |b|, причем |a + b| = |a| + |b|, если a ≥ 0;
|a − b| ≥|a| − |b|;
6.|a|2 = a2= |a2|
Cвойства модуля - абсолютной величины:

Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения уравнений и неравенств с модулем:
“раскрытие” модуля (т.е. использование определения);
использование геометрического смысла модуля;
метод интервалов;
использование равносильных преобразований;
замена переменной.
Уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, называется уравнением с модулем.
Виды уравнений:

Уравнение вида:
Равносильно :
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.

Заметим, что если бы мы решали уравнение по определению, то у нас возникли бы затруднения при подстановке корней в соответствующие неравенства.
Пример 1.
Решение:
Решить уравнение
Ответ:

Такие уравнения можно решать двумя способами:
I способ:
Если f(x) имеет более простой вид, чем g(x), то
Рассмотрим уравнения вида

Пример 2
Решение:
Решить уравнение

Решим уравнение второй системы:
Решим уравнение первой системы:

Вернемся к совокупности систем:
Ответ:

II способ: Если g(x) имеет более простой вид, чем f(x).
Если g(x)<0, то уравнение |f(x)|=g(x) не имеет решений
Если g(x)≥0, то

Решим первое уравнение совокупности:
Пример 3
Решение:
Решить уравнение

Решим второе уравнение совокупности:
Вернемся к системе:
Система решений не имеет, следовательно, уравнение решений не имеет.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то
Рассмотрим уравнения вида
И мы получаем следующую равносильность:

Решим первое уравнение совокупности:
Пример 4
Решение:
Решить уравнение

Решим второе уравнение совокупности:
Ответ:
Вернемся к совокупности:

Для решения уравнений такого вида удобно воспользоваться следующим алгоритмом:
Найти нули подмодульных выражений;
Провести столько параллельных прямых, сколько содержится модулей в данном уравнении;
Нанести на каждую прямую знаки, соответствующие подмодульной функции;
Через точки, соответствующие подмодульным нулям, провести вертикальные прямые, которые разобьют параллельные прямые на интервалы;
Раскрыть модули на каждом интервале и решить на этом интервале уравнение.
Рассмотрим уравнения вида

Пример 5
Решение:
Решить уравнение
-3
-1
2

Раскрывая модули на каждом интервале, получим совокупность систем:
Ответ:
-2; 8

В некоторых случаях удобнее использовать метод замены переменной.
Пример 6
Решение:
Ответ:
Решить уравнение
Данное уравнение может быть решено несколькими способами.
Например:
Способ 1. Используя определение модуля.
Способ 2. Свести уравнение к равносильности
Способ 3. Замена переменной.
Заметим, что
Замена:
Уравнение принимает вид:
Обратная замена:
0; 4

Бывает и так , что уравнение нельзя отнести ни к одному из рассмотренных типов, а так затруднительно решить его исходя из определения. В этом случае удобно воспользоваться графическим способом решения.
Пример 7
Решение:
Решить уравнение
Построим в одной системе координат графики функций

2
4
6
8
- 2
- 4
- 6
- 8
- 2
4
6
8
10
0
2

2
4
6
8
- 2
- 4
- 6
- 8
- 2
4
6
8
10
0
2

2
4
6
8
- 2
- 4
- 6
- 8
- 2
4
6
8
10
0
2

2
4
6
8
- 2
- 4
- 6
- 8
- 2
4
6
8
10
0
2

2
4
6
8
- 2
- 4
- 6
- 8
- 2
4
6
8
10
0
2
Ответ:
Найдем точки пересечения
1

Задания для самостоятельного решения:

Выводы
1. Виды уравнений:
2. Методы решения уравнений
Аналитический:
- по определению
- использование равносильности
- разбиение на промежутки
- замена переменной
Функционально – графический или Графический