Случайные погрешности. Вероятностное описание результатов и погрешностей

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
— каждое из значений Xi является суммой истинного значения измеряемой ФВ и некого случайного числа, соответствующего случайной погрешности.

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Разброс результатов измерений – диапазон измеренной ФВ от минимального до максимального значений.
Границы разброса Xmin, Xmax – величины, характеризующие предел разброса истинного значения измеряемой величины, где xmin, xmax – соответственно, нижняя и верхняя границы разброса.
Лекция 3. Случайные погрешности
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их появления.

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины X. Рассмотрим ряд наблюдений X1, X2 , X3,…, Xn.
Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от Xmin до Xmax и найдем разброс ряда L = Xmax– Xmin.
Разделим разброс ряда на k равных интервалов Δl = L/k и подсчитаем количество наблюдений nk, попадающих в каждый интервал.
Для определения оптимального числа интервалов используется эмпирическая формула Стерджесса:

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица 1. Результаты 100 наблюдений, сгруппированные в 7 интервалов
Относительная частота попаданий nk /n результатов наблюдений k-ый интервал – отношение количества наблюдений, попадающих в k-ый интервал,
к общему числу наблюдений.

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
На основании полученных результатов можно построить гистограмму – зависимость относительной частоты попаданий nk/n в k-ый интервал.
Гистограмма, построенная на основе результатов таблицы 1

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Пусть n → ∞; тогда k → ∞ и Δl → 0.
Функция f(X) — кривая плотности распределения вероятностей случайной величины.
Свойства функции f(X):
1.
2.

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Рассмотрим элементарный участок dX в диапазоне распределения случайной величины. Тогда величина f(X)dX – вероятность попадания случайной величины на участок dX.
Вероятность попадания Р величины X на интервал
от X1 до X2:

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Функция распределения F(X) — функция, каждое значение которой для каждого X является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина X в i -м опыте принимает значение, меньшее Xi:

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Перепишем выражение для функции распределения F(X):
Тогда связь между функцией распределения F(X) и плотностью распределения f(X):
Тогда вероятность попадания Р величины X на интервал от X1 до X2 в терминах функции распределения равна:

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Свойства функции F(X):
1. F(X1) ≥0;
2. Для любого X1 справедливо 0 ≤ F(X1) ≤ 1;
3. Если X1 < X2, то F(X1) ≤ F(X2);

Лекция 3. Случайные погрешности
Функция распределения и плотность распределения случайной величины

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры функций распределения случайной величины

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Кумулятивная кривая – график дискретной функции распределения.
Fk – кумулятивная частость.

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Функция распределения числа очков при бросании игральной кости
Таблица 2. Вероятности появления i-ого очка при бросании игральной кости

Вероятностное описание результатов и погрешностей
Лекция 3. Случайные погрешности
Размерности функции распределения и плотности распределения
— функция распределения по определению равна вероятности. В свою очередь, вероятность является безразмерной величиной.
1.
2.
— плотность распределения есть производная от функции распределения. То есть размерность плотности распределения обратна размерности случайной величины.

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
1. Задают ли следующие таблицы законы распределения дискретной случайной величины?

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
1. Задают ли следующие таблицы законы распределения дискретной случайной величины?

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
2. Задают ли следующие таблицы законы распределения дискретной случайной величины?
1.
2.

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
2. Задают ли следующие таблицы законы распределения дискретной случайной величины?
— расходящийся ряд
1.
2.
2.
1.

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
3. По заданному закону распределения случайной величины X найти функцию распределения F(X).

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
3. По заданному закону распределения случайной величины X найти функцию распределения F(X).
Если x≤0, то F(x)=Р(Х<0)=0, так как событие Р(Х<0) невозможно.
Если 0
Если 1
Если 2
Если 3
Если x>4, то F(x)=Р(Х<4)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=)+Р(Х=4)=0,2+0,1+0,25+0,15+0,3=1

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
3. По заданному закону распределения случайной величины X найти функцию распределения F(X).
― функция распределения случайной величины Х

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
4. Плотность распределения случайной величины задана формулой:
Найти вероятность того, что случайная величина попадет на участок (-1, +1).

Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры заданий
4. Плотность распределения случайной величины задана формулой:
С помощью выражения находим вероятность:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Центр распределения
Медиана XM — точка на оси X, такая что и слева, и справа от нее вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют P1 = P2 = 0,5.

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Центр распределения
Мода Xm — точка на оси X, соответствующая максимуму кривой плотности распределения.
Одномодальные — распределения с одним максимумом.
Полимодальные — распределения с несколькими максимумами.
Антимодальные — распределения с выраженным минимумом.

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Центр распределения
— одномодальное распределение
— двухмодальное распределение
— антимодальное распределение
— равномерное распределение

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Центр распределения
Центр распределения двухмодального распределения часто оценивается как центр сгибов:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Центр распределения
Математическое ожидание M[X] — центр тяжести функции распределения.
— для непрерывных величин.
— для дискретных величин.

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Центр распределения
Центр размаха Xp— среднее арифметическое между максимальным и минимальным членами ряда результатов наблюдений.

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Моменты распределений
Начальные моменты k-ого порядка определяются выражениями:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Моменты распределений
Центральные моменты k-ого порядка определяются выражениями:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Моменты распределений
Дисперсия — центральный момент второго порядка:
Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений.
Среднее квадратическое отклонение (СКО) — квадратный корень дисперсии:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Моменты распределений
Третий центральный момент:
Коэффициент асимметрии:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры распределений с различными значениями коэффициента асимметрии

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Моменты распределений
Четвертый центральный момент:
Эксцесс:

Числовые параметры законов распределения.
Центр распределения. Моменты распределений
Лекция 3. Случайные погрешности
Примеры распределений с различными значениями эксцесса

Распределения случайных величин
Лекция 3. Случайные погрешности
Формы кривых распределения случайных величин
Трапецеидальные
Экспоненциальные
Семейство распределений
Стьюдента
Двухмодальные
дискретное двузначное распределение;
арксинусоидальное распределение;
распределение Стьюдента;
распределение Коши;
экспоненциальное распределение;
распределение Лапласа;
бета-распределение;
альфа-распределение
распределение Гаусса (нормальное).
равномерное;
треугольное (Симпсона);
трапецеидальное.

Лекция 3. Случайные погрешности
Трапецеидальные распределения
1. Равномерное распределение
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Трапецеидальные распределения
2. Трапецеидальное распределение
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Трапецеидальные распределения
3. Треугольное распределение (Симпсона)
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
1. Экспоненциальное распределение
λ >0 — коэффициент интенсивности или обратный коэффициент масштаба
— функция распределения
— плотность распределения
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
Вид экспоненциального распределения при различных коэффициентах интенсивности
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
2. Распределение Лапласа
α >0 — параметр масштаба, -∞<β <+∞ — параметр сдвига.
— функция распределения
— плотность распределения
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
Вид распределения Лапласа при различных параметрах масштаба и сдвига
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
3. Нормальное распределение (Гаусса)
— плотность распределения
Величина µ — математическое ожидание (мода, медиана),
величина σ — СКО.
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и СКО σ = 1.
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
3. Нормальное распределение (Гаусса)
— функция распределения
— функция ошибок
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Экспоненциальные распределения
Вид распределения Гаусса при различных параметрах σ
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Семейство распределений Стьюдента
1. Распределение Стьюдента (t-распределение)
Пусть ξ0, ξ1 … ξm — независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0, σ). Пусть случайная величина t задается выражением:
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Семейство распределений Стьюдента
1. Распределение Стьюдента (t-распределение)
Тогда плотность распределения случайной величины t:
m — число степеней свободы.
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Семейство распределений Стьюдента
Свойства распределения Стьюдента
При m>1 математическое ожидание = медиана = мода =0; при m=1 математическое ожидание не определено, медиана = мода =Х0;
Дисперсия (СКО) определена при m>2 и равна ;
Коэффициент асимметрии = 0 при m>3, при m<3 не определен;
Коэффициент эксцесса при m>4, при m<4 не определен.
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Семейство распределений Стьюдента
Плотность распределения Стьюдента и плотность нормального распределения
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Двухмодальные распределения
1. Дискретное двузначное распределение
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Двухмодальные распределения
2. Арксинусоидальное распределение
Распределения случайных величин

Лекция 3. Случайные погрешности
Двухмодальные распределения
3. Остро- и кругловершинные двухмодальные распределения
Распределения случайных величин

Оценка результата измерения
Лекция 3. Случайные погрешности
Точечная оценка параметра — оценка параметра, выраженная одним числом.
Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она
стремится к истинному значению оцениваемой величины.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.
Оценка называется эффективной, если ее дисперсия является наименьшей из всех возможных точечных оценок.

Оценка результата измерения
Лекция 3. Случайные погрешности
Точечной оценкой математического ожидания результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины:
Точечная оценка дисперсии определяется по формуле:

Оценка результата измерения
Лекция 3. Случайные погрешности
Точечная оценка среднего квадратического отклонения определяется по формуле:
Среднее квадратическое отклонение результата измерения (показатель отклонения значения самого среднего арифметического):

Лекция 3. Случайные погрешности
— нормальное распределение
Введем величину погрешности
— кривая нормального распределения
случайных погрешностей
Для группы из n наблюдений,
распределённых по нормальному закону:
Оценка результата измерения

Лекция 3. Случайные погрешности
Свойства распределения случайных погрешностей
Кривая нормального распределения погрешностей симметрична относительно оси ординат;
Математическое ожидание случайной погрешности равно нулю;
Чем меньше СКО нормального распределения, тем меньше рассеяние результатов наблюдений и тем больше вероятность того, что большинство случайных погрешностей в них будет мало;
При нормальном законе распределения малые погрешности будут встречаться чаще, чем большие.
Оценка результата измерения

Лекция 3. Случайные погрешности
Оценка результата измерения

Лекция 3. Случайные погрешности
Введем нормированную случайную величину:
— плотность распределения
— функция распределения
Оценка результата измерения
— связь функции распределения и функции Лапласа
— функция Лапласа

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Квантильные оценки — интервал от –ΔХ(Р) до +ΔХ(Р), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р×100% всех возможных значений случайной погрешности.
Доверительный интервал — интервал с границами ± ΔХ(Р).
Доверительная вероятность — величина
где q — уровень значимости, Хниж и Хверх —
нижняя и верхняя границы интервала.

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Доверительные границы случайной погрешности ΔХ(Р), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле:
Границы доверительных интервалов
и соответствующие им доверительные вероятности

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Для получения интервальной оценки многократных наблюдений нормально распределенной случайной величины необходимо:
1. Определить точечные оценки математическое ожидание и СКО случайной величины:
2. Выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ряда (0,90; 0,95; 0,99).

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
3. Найти верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала. Координаты границ должны удовлетворять следующим условиям:
где — доверительная граница погрешности результата измерений, где zp — квантильный множитель (критическое значение).
В этом случае ширину доверительного интервала можно представить как:

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Для определения численного значения интервала ΔX(P) необходимо поделить значение Р пополам, затем найти в таблице Z-распределения соответствующее значение. По вертикали отложены десятые доли численного значения zp, по горизонтали – сотые. Затем подставить полученное значение zp в формулу
4. Ответ при заданном уровне доверительной вероятности.

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (1)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (2)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (3)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (4)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (5)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (6)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений нормального распределения (z-распределение) (7)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
1. Определить среднее значение веса учебника для выборки из 1000 шт.
— Рассчитать среднее значение и стандартное отклонение веса учебников.
— Выбрать нужный доверительный уровень. Р=0,95%.
— Определить значение zp. Р/2=0,475, следовательно, zp =1,96.
— Вычислить значение ΔX(P).
— Ответ при Р=0,95.

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Для нормального распределение при неизвестной дисперсии вводится
дробь Стьюдента:
где Q – истинное значение измеряемой величины, XM – координата центра распределения, – его точечная оценка,
– точечная оценка среднего квадратического отклонения
– среднее квадратическое отклонение результата измерения

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале [-tp; +tp]:
где ε – доверительная граница погрешности измерений.
Ответ при заданном уровне доверительной вероятности.
– число степеней свободы.

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Зависимость плотности распределения Стьюдента от значения k

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений распределения Стьюдента (t-распределение) (1)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
Таблица значений распределения Стьюдента (t-распределение) (2)

Оценка случайных погрешностей.
Доверительная вероятность и доверительный интервал
Лекция 3. Случайные погрешности
2. Даны следующие значения длительности импульса: 40,6, 40,0, 40,1, 39,7, 40,2, 39,8, 41,0. Определить результат измерения.
— Рассчитать среднее значение и стандартное отклонение выборки.
— При n=6 и доверительной вероятности Р= 80 tp = 1,5.
— Ответ при Р=0,95.

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Грубая погрешность, или промах – результат измерения, выделяющийся из общей выборки. Причины возникновения промахов:
ошибка измерения;
неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;
неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора;
необычная природа входных данных;
внезапные и кратковременные изменения условий;
изменения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Критерий «трех сигм»
Результат, возникающий с вероятностью q < 0,003, маловероятен, и его можно считать промахом, если
где q — уровень значимости того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений, величина 3SX — граница цензурирования.
При этом среднее значение и СКО рассчитываются без учета подозрительных значений.

Лекция 3. Случайные погрешности
Доверительные границы случайной погрешности ΔХ(Р), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле:
Границы доверительных интервалов
и соответствующие им доверительные вероятности
Грубые погрешности и методы их исключения
Критерий «трех сигм»

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Критерий «трех сигм»
1. Даны следующие значения измеряемой величины: 10,2; 10,3; 9,9; 10,1; 10,0;
9,9; 10,2; 9,8; 9,7; 10,1; 10,2; 9,9; 9,6; 10,0; 9,8; 10,4; 9,6; 9,9; 10,3; 9,7; 11,2; 9,9; 10,0;
9,8; 10,2; 9,6; 10,1; 9,7; 10,1; 9,8; 10,3. Проверить на наличие грубых ошибок с помощью критерия «трех сигм».
— Ранжируем результаты в порядке возрастания: 9,6; 9,6; 9,6; 9,7; 9,7; 9,7; 9,8; 9,8; 9,8; 9,8; 9,9; 9,9; 9,9; 9,9; 9,9; 10,0; 10,0; 10,0; 10,1; 10,1; 10,1; 10,1; 10,2; 10,2; 10,2; 10,2; 10,3; 10,3; 10,3; 10,4; 11,2.
— Откидываем крайние значения: 11,2
— Находим среднее значение и СКО:

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Критерий «трех сигм»
— Величина границы цензурирования 1,2.
— Величина 11,2 является промахом.
— Проверяем, сколько значений из ряда наблюдений выходят за границы [9,7-1,2; 9,7+1,2] = [8,5;10,9]
— При необходимости процедура повторяется.
1. Даны следующие значения измеряемой величины: 10,2; 10,3; 9,9; 10,1; 10,0;
9,9; 10,2; 9,8; 9,7; 10,1; 10,2; 9,9; 9,6; 10,0; 9,8; 10,4; 9,6; 9,9; 10,3; 9,7; 11,2; 9,9; 10,0;
9,8; 10,2; 9,6; 10,1; 9,7; 10,1; 9,8; 10,3. Проверить на наличие грубых ошибок с помощью критерия «трех сигм».

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Критерий Романовского
Отбрасываются подозрительные результаты наблюдений, для оставшихся рассчитываются среднее значение и СКО.
Затем для подозрительных результатов рассчитывается критерий
Сравниваются величины βcalc и βtab при заданном уровне значимости.
Если βcalc > βtab при заданном уровне значимости, то подозрительный результат считается промахом.

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Критерий Романовского

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Вариационный критерий Диксона
Ряд измерений ранжируется по возрастанию
Для подозрительных результатов рассчитывается значение критерия Диксона:
Сравниваются величины Zq и Ztab при заданном уровне значимости.
Если Zq > Ztab при заданном уровне значимости, то подозрительный результат считается промахом.

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Вариационный критерий Диксона

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Вариационный критерий Диксона

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Вариационный критерий Диксона
2. Даны следующие значения измеряемой величины: 25; 28; 22; 26; 24; 48. Проверить последний результат на промах.
— Ранжируем полученный ряд 22; 24; 25; 26; 28; 48.
— Рассчитываем значение критерия Диксона:
— Zq =0,77 > Ztab =0,56 при уровне значимости q=0,05. Следовательно, результат 48 является промахом.

Грубые погрешности и методы их исключения
Лекция 3. Случайные погрешности
Различные критерии для исключения промахов
при нормальном распределении случайной величины