Случайные величины (лекция 4)

Задача о счастливом билете

Задача о счастливом билете
k=9

Длина половины номера

Числовые характеристики дискретной случайной величины
Неслучайная (постоянная величина)

Формула для вычисления дисперсии
const
const

Свойства дисперсии

Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях
n независимых испытаний
Событие A появляется в каждом из них с вероятностью p
Дискретная случайная величина X – число появления события A в этих испытаниях
ВОПРОС: Чему равна дисперсия случайной величины X - числа появлений события A в испытаниях?
ОТВЕТ: Дисперсия числа появлений события A в n испытаниях равно произведению n на p на (1-p): D(X)=n*p*(1-p)
Доказательство: Пусть X1 – число появления события A в первом испытании, X2 – во втором и.т.д, Xn – в n-ом. Всего событие A появилось X1+X2+…+Xn раз. По свойству дисперсии суммы, D(X)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).
Распишем D(X1), D(X2),…D(Xn): D(X1)=M(X12)-(M(X1))2
Дискретная случайная величина X12 (как и X1) принимает значение 1 с вероятностью p (событие случилось) и значение 0 с вероятностью (1-p) (событие не случилось). Поэтому D(X1)=1*p+0*(1-p)-(1*p+0*(1-p))2=p-p2=p(1-p). И так для каждого n, поэтому D(X)=n*p*(1-p).
Данная случайная величина X распределена по биномиальному закону, поэтому можно сказать, что
ДИСПЕРСИЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ N И P РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ N*P*(1-P).

Среднее квадратическое отклонение
сигма
Ответ. Данная случайная величина X имеет мат.ожидание 6,4, дисперсию 13,04 и среднее квадратическое отклонение 3,61.

От дискретности – к непрерывности!

Плотность распределения вероятностей с.в. (только для непрерывных!)
Плотность распределения
Функция распределения

Законы распределения н.с.в.
Функция распределения F(x)
Плотность распределения f(x)
Первая производная линейной функции – константа!

Законы распределения н.с.в.
Функция распределения F(x)
Плотность распределения f(x)
Изменение μ приводит к сдвигу кривой вдоль оси x;
изменение σ приводит к сжатию/растяжению кривой
Нормированное (стандартное) норм.распр. – норм.распр. с параметрами μ=0 и σ=1

Ещё о нормальном распределении
Правило одной сигмы:
Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±σ с вероятностью 0,68
Правило двух сигм:
Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±2σ с вероятностью 0,95
Правило трёх сигм:
Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±3σ с вероятностью почти 1
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Законы распределения н.с.в.
Функция распределения F(x)
Плотность распределения f(x)
Уже для k=5 видны зачатки «нормальности»

Законы распределения н.с.в.
Функция распределения F(x)
Плотность распределения f(x)
Бледно-фиолетовая линия – обыкновенное нормальное распределение

Законы распределения н.с.в.
Функция распределения F(x)
Плотность распределения f(x)