Смежные и вертикальные углы. Решение задач

Повторить понятия смежных и вертикальных углов
Научить применять свойства этих углов при решении задач

ПОВТОРЕНИЕ
Какие углы называются смежными?
Ответ:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными полупрямыми.
∠ АОВ и ∠СОВ - смежные
ОВ - общая сторона
АО и ОС дополнительные
О полупрямые.
А
В
С

ПОВТОРЕНИЕ
Какими свойствами обладают смежные углы?
Ответ
Сумма смежных углов равна 180° ( теорема)
Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны
Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°
Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
∠1 + ∠ 2 = 180°
1
2

ПОВТОРЕНИЕ
Вопросы:
Могут ли два смежных угла быть равными:
а) 75° и 80°;
(нет, т.к.75° + 80°=155°)
б) 94° и 96°;
(нет, т.к. 94° + 96°= 190°)
в) 83° и 97°?
( да, т.к. 83° + 97°= 180°)

ПОВТОРЕНИЕ
Дано: Доказательство
∠АОВ 3 О
а ∩ АО А 1
а ∩ ОВ 2
∠3= ∠4 4
Доказать В а
∠1= ∠2 1. ∠3 смежный с ∠1
∠4 смежный с ∠2
2. Т.к. ∠3= ∠4 ( по условию), то ∠1= ∠2 ( как углы , смежные равным углам).

ПОВТОРЕНИЕ
Какие углы называются вертикальными?
Ответ:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
b₁ ∠ 1 и ∠ 3- вертикальные
∠ 2 и ∠ 4- вертикальные
1
2
3
4
а
b
а₁

ПОВТОРЕНИЕ
Каким свойством обладают вертикальные углы?
Ответ.
Вертикальные углы равны.
∠ 1 = ∠ 3 ∠ 2 = ∠4
1
2
3
4

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
№3(учебник) Решение
Дано:
∠1 и ∠2- смежные
∠1больше ∠2 в 2 раза 1.Пусть ∠2 = х°, тогда ∠1=2х°
Найти ∠1 и ∠2 2.Т.к. ∠1 + ∠2 = 180°(по теореме
о смежных углах), то
х + 2х = 180°
3х = 180°, х =180°: 3
х =60°, ⇒ ∠2= 60°
⇒ ∠1 = 2∙60°= 120° Ответ: ∠1= 120°
∠2= 60°
1
2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
№6(2) Решение
Дано:
∠1 : ∠2 = 3 : 7 1. Пусть х – коэффициент
Найти ∠1 и ∠2 пропорциональности.
Тогда ∠1 = 3х, ∠2 = 7х( по условию)
2. Т.к ∠1 + ∠2 = 180°( по теореме о смежных углах), то
3х + 7х = 180°
10х = 180°
х = 18°
∠1 =3 ∙ 18°=54°, ∠2 =7 ∙ 18°=126° Ответ: 54°; 126°.
∠1 и ∠2- смежные
1
2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Дано: Решение
∠1 и ∠2- смежные
∠2 составляет 0,2 от∠1
Найти ∠1 и ∠2. 1 2
1. Пусть ∠1= х, тогда ∠2= 0,2х ( по условию).
2. Т.к. ∠1 + ∠2= 180°( по теореме о смежных углах), то
х + 0,2х =180°
1,2х = 180°
х = 180°: 1,2
х=150°, ⇒ ∠1=150°,
∠2= 0,2∙ 150°= 30°. Ответ: 150°, 30°

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Дано: Решение
a∩b
∠2 меньше ∠1 в 4 раза 2 3
Найти ∠1, ∠2, ∠3и ∠4 1 4
1.Пусть ∠2 = х, тогда ∠1= 4х( по условию),
2. Т.к. ∠1+ ∠2=180°( по теореме о смежных углах), то
4х + х =180°
5х = 180°
х =36° ⇒∠2= 36°, ∠1=4∙36°=144°
3. ∠3= ∠1, ∠4= ∠2( по теореме о вертикальных углах),
значит ∠3= 144°, ∠4=36°. Ответ: 144°, 36°, 144°, 36°.
а
b

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Дано: Решение В
AС ∩ ВD=O А О
∠ВОС=23° 23°
Найти: ∠СОD, D С
∠АОВ, ∠АОD.
1. ∠АОD= ∠ВОС=23°(по теореме о вертикальных углах)
2. ∠АОВ + ∠ВОС = 180°( по теореме о смежных углах).
Следовательно ∠АОВ =180°- ∠ВОС , т.е. ∠АОВ =180°- 23°=157°
3. ∠СОD= ∠АОВ = 157° ( по теореме о вертикальных углах).
Ответ: 157°, 157°, 23°.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
A D
Назовите смежные и вертикальные
O углы.
Смежные углы:
∠АОМ и ∠АО D, ∠АО D и ∠NОD,
∠NОD и ∠NОМ, ∠NОМ и ∠АОМ .
Вертикальные углы:
∠АОМ и ∠NОD, ∠АО D и ∠NОМ.
M
N

А СЕЙЧАС ПРОВЕДЕМ ЗАРЯДКУ ДЛЯ ГЛАЗ, СНИМЕМ НАПРЯЖЕНИЕ, И БУДЕМ РАБОТАТЬ ДАЛЬШЕ. НАЧИНАЕМ!