Треугольники. ЕГЭ

«Треугольники»
часть 1

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

.
Виды углов

Виды углов
Смежные углы

Виды углов
Смежные углы

Виды углов
Смежные углы

.
Виды углов
Смежные углы
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

.
Виды углов
Смежные углы
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

.
Виды углов
Вертикальные углы

.
Виды углов
Вертикальные углы

.
Виды углов
Вертикальные углы

.
Виды углов
Вертикальные углы
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

.
Виды углов
Вертикальные углы
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

Параллельные прямые
Взаимное расположение прямых на плоскости:
пересекаются или не пересекаются.

Параллельные прямые
Взаимное расположение прямых на плоскости:
пересекаются или не пересекаются.

Параллельные прямые
Взаимное расположение прямых на плоскости:
пересекаются или не пересекаются.
Параллельные прямые: две непересекающиеся прямые

Параллельные прямые
Взаимное расположение прямых на плоскости:
пересекаются или не пересекаются.
Параллельные прямые: две непересекающиеся прямые
Свойства параллельных прямых:

Параллельные прямые
Взаимное расположение прямых на плоскости:
пересекаются или не пересекаются.
Параллельные прямые: две непересекающиеся прямые
Свойства параллельных прямых:
1

Параллельные прямые
Взаимное расположение прямых на плоскости:
пересекаются или не пересекаются.
Параллельные прямые: две непересекающиеся прямые
Свойства параллельных прямых:
1
2

.
Параллельные прямые
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

.
Параллельные прямые
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

.
Параллельные прямые
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

.
Параллельные прямые
Равные углы
Сумма углов равна 180˚

1

1

1

1

1

Углы треугольника

Углы треугольника
Сумма углов треугольника 180˚

Треугольники
Основные сведения

Треугольники
Основные сведения
Остроугольный
(все углы острые)

Треугольники
Основные сведения
Остроугольный
(все углы острые)

Треугольники
Основные сведения
Остроугольный
(все углы острые)
Тупоугольный
(один угол тупой, два острых)

Треугольники
Основные сведения
Остроугольный
(все углы острые)
Тупоугольный
(один угол тупой, два острых)

Треугольники
Основные сведения
Остроугольный
(все углы острые)
Тупоугольный
(один угол тупой, два острых)

Виды углов
Внешний угол

Виды углов
Внешний угол треугольника при данной вершине:
— это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине
Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна 180°
Внешний угол

Виды углов
Внешний угол треугольника при данной вершине:
— это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине
Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна 180°
Внешний угол

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
3

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен:
а) 44° б)60° в)100°
Ответ дайте в градусах.
Ответ:
а) 44, 92 или 68,68 б) 60, 60 в) 40, 40
3

Равенство треугольников

Равенство треугольников
1
по двум сторонам и углу между ними;

Равенство треугольников
2
1
по стороне и двум прилежащим к ней углам;
по двум сторонам и углу между ними;

Равенство треугольников
по стороне и двум прилежащим к ней углам;
3
2
1
по двум сторонам и углу между ними;
по трем сторонам.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника
Неравенство треугольника:
Сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны.

Элементы треугольников

Элементы треугольников
Биссектриса — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части

Элементы треугольников
Биссектриса — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Элементы треугольников
Биссектриса — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Элементы треугольников
Биссектриса — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр к отрезку, который проходит через середину этого отрезка.

Теорема о биссектрисе
A
В
C
D

Теорема о биссектрисе
A
В
C
D

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

Ответ:
115
Биссектриса углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах.
A
В
М
50°
C
4

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

Ответ:
60
В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, равная 11. Известно, что периметр треугольника АВМ равен 42, а периметр ВМС – 40. Найдите периметр треугольника АВС.
A
C
M
В
Из условия:
5

Медиана

Медиана в прямоугольном треугольнике :
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Медиана

Медиана в прямоугольном треугольнике :
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Медиана

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
6

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
6

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
6

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
6

Ответ:
1) 4; 2) 5; 3)6
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
6

Треугольники
Остроугольный
(все высоты лежат внутри)
Прямоугольный
(две высоты совпадают с катетами, третья лежит внутри)
Тупоугольный
(одна высота лежит внутри, две другие вне)

«Треугольники»
часть 2

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки
3 : 4 : 5
5 : 12 : 13
7 : 24 : 25
8 : 15 : 17

Пифагоровы тройки
3 : 4 : 5
5 : 12 : 13
7 : 24 : 25
8 : 15 : 17
6 : 8 : 10
10 : 24 : 26
14 : 48 : 50
16 : 30 : 34

9
Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
0,9 : х : 1,5
3 : 4 : 5
х = 1,2
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
0,9 : х : 1,5
3 : 4 : 5
х = 1,2
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
0,9 : х : 1,5
3 : 4 : 5
х = 1,2
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
0,9 : х : 1,5
3 : 4 : 5
х = 1,2
9

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
0,9 : х : 1,5
3 : 4 : 5
х = 1,2
9

Ответ:
48; 6,5; 45; 1,2
Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
14 : х : 50
7 : 24 : 25
x = 48
2,5 : 6 : х
5 : 12 : 13
х = 6,5
0,9 : х : 1,5
3 : 4 : 5
х = 1,2
9

10
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
10

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
10

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
8:15:17
10

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
8:15:17
10

Ответ:
15
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
8:15:17
10

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

Особые треугольники
Серебряный и золотой

11
Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
22
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
22
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
22
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
22
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
22
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

Найдите по рисункам оставшиеся стороны треугольника.
A
A
A
A
A
A
A
22
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
11

13
A
C
B

A
C
B
13

A
C
B
M
13

A
C
B
M
60°
30°
13

A
C
B
M
60°
30°
13

A
C
B
M
60°
30°
13

A
C
B
M
60°
30°
13

A
C
B
M
60°
30°
13

A
C
B
M
60°
30°
13

A
C
B
M
60°
30°
13

a
h
A
C
B
M
60°
30°
13

a
h
A
C
B
M
60°
30°
13

a
h
A
C
B
M
60°
30°
13

a
h
A
C
B
M
60°
30°
13

Ответ:
7,5
a
h
A
C
B
M
60°
30°
13

Признаки подобия треугольников
3
2
1

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум углам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум углам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум углам

Признаки подобия треугольников
по трем пропорциональным сторонам
3
2
1
по двум углам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по трем пропорциональным сторонам
по двум углам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по трем пропорциональным сторонам
по двум углам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
по трем пропорциональным сторонам
по двум углам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум углам
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
по трем пропорциональным сторонам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум углам
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
по трем пропорциональным сторонам

Признаки подобия треугольников
3
2
1
по двум углам
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
по трем пропорциональным сторонам

Признаки подобия треугольников
A
B
С
С’
B’
A’

Признаки подобия треугольников
С’
B’
A’
A
B
С

Признаки подобия треугольников
С’
B’
A’
A
B
С

Признаки подобия треугольников
С’
B’
A’
A
B
С

Признаки подобия треугольников
С’
B’
A’
A
B
С

Признаки подобия треугольников
С’
B’
A’
A
B
С

14
В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
М
М

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
90°− α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
90°− α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
90°− α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
90°− α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
90°− α
15
20
М
М
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

Ответ:
16
В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 15, АС = 20. Найдите АН.
A
В
Н
С
α
α
90°− α
90°− α
15
20
14

Средняя линия

Средняя линия

Средняя линия
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии:
Средняя линия параллельна основанию, а её длина равна половине длинны основания.

Площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
16

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
16

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
16

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
16

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
16

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
17
A
C
В

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
32
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
32
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
16
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
16
8:15:17
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
16
8:15:17
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
16
8:15:17
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
16
8:15:17
17

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 32, 34 и 34.
A
C
В
34
34
16
8:15:17
17

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18
A
C
В

A
C
В
11
30°
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18

A
C
В
11
30°
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18

A
C
В
11
30°
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18

A
C
В
11
30°
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18

A
C
В
11
30°
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18

A
C
В
11
30°
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
18

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

19
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 11, 25 и 30.
11
25
30
19

Площадь

Площадь
1
Если дано только три стороны и треугольник не является прямоугольным или равнобедренным, то используем Герона.
Если треугольник равнобедренный, то чаще всего работаем через высоту.
Если даны две стороны и угол или их легко найти, то считаем площадь через синус и две стороны.

Площадь
1
2
Если дано только три стороны и треугольник не является прямоугольным или равнобедренным, то используем Герона.
Если треугольник равнобедренный, то чаще всего работаем через высоту.
Если даны две стороны и угол или их легко найти, то считаем площадь через синус и две стороны.

Площадь
1
2
3
Если дано только три стороны и треугольник не является прямоугольным или равнобедренным, то используем Герона.
Если треугольник равнобедренный, то чаще всего работаем через высоту.
Если даны две стороны и угол или их легко найти, то считаем площадь через синус и две стороны.

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

Медиана

Медиана

Медиана

Серебряный и золотой

3 : 4 : 5
5 : 12 : 13
7 : 24 : 25
8 : 15 : 17
6 : 8 : 10
10 : 24 : 26
14 : 48 : 50
16 : 30 : 34

Произвольного треугольника
3
2
1
Прямоугольного треугольника
( через стороны )
Произвольного треугольника
( через синус )
4
Произвольного треугольника
( Формула Герона )
Площадь треугольников