Статистика, часть 6. Условные обозначения

Условные обозначения
2*2=4
Быть или не быть?
Это самое важное, надо знать на 100%!!!
Это надо решить и записать!!!

Временные ряды

Временной ряд = ряд динамики
Это история в цифрах
Это ряд значений определенного показателя, расположенных в хронологическом порядке.
Ряд динамики всегда состоит из 2-х элементов:
у – уровень динамического ряда = измерение = отсчёт - значение показателя в конкретный момент или период времени. Уровень ряда принято обозначать у;
t - момент или период времени, в котором зафиксировано значение показателя.
Правильнее задавать номер периода

Требования к показателям
Достоверны
Исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;
Сопоставимы по содержанию = исчислены
по единой методологии;
Приведены в одних и тех же единицах измерения.

Виды рядов динамики Примеры = ?
Первоначальные
Интервальные (показатели за период)
Моментные (показатели на момент времени)
С равными промежутками времени
С неравными промежутками времени
Производные
Средние значения
Относительные базисные величины
Относительные цепные величины
Относительная величина = сравниваемая величина / базис
[коэффициент, процент, промилле]

Данные за год. Какой тип?
1. Численность населения (на конец года), млн. человек
2. Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. человек
3. Среднедушевые денежные доходы населения в месяц, руб.
4. Валовой внутренний продукт, млрд. руб.
5. Основные фонды в экономике (по полной учетной стоимости; на конец года), млрд. руб.
6. Объем отгруженных товаров собственного производства, выполненных работ и услуг собственными силами по видам экономической деятельности, млрд. руб.:
6.1. добыча полезных ископаемых
6.2. обрабатывающие производства
6.3. производство и распределение электроэнергии, газа и воды
6.4. продукция сельского хозяйства млрд. руб.
7. Индекс потребительских цен (декабрь к декабрю предыдущего года), процентов

Сопоставимость уровней ряда
по методике расчета показателей
(если с течением времени методика расчета показателей менялась, то анализировать их как единый временной ряд нельзя);
по территории, по которой рассчитывается показатель
(к несопоставимости могут приводить изменения границ регионов, стран, организаций: объединение, дробление и т.п.);
по охвату единиц (при оценке масштабов деятельности малого бизнеса показатель может быть рассчитан только по малым предприятиям, а может включать и микропредприятия);

Сопоставимость уровней ряда
по единицам измерения (все уровни ряда должны быть измерены в одних единицах измерения);
по периоду времени (ряды должны быть полными)
Полный ряд = ряд с одинаковыми интервалами
между моментами измерения
по моменту времени (например, все значения на конец года).

Что изучается?
Показатели изменения уровней временных рядов.
Средние характеристики рядов динамики.
Основная тенденция изменения уровней ряда, трендовая модель.
Автокорреляция уровней + авторегрессионная модель.
Цикличность, например, сезонность
Взаимосвязь между временными рядами, корреляция рядов динамики.
Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

Показатели изменения уровней ряда

Цепные и базисные показатели

Абсолютный прирост
цепной: Δц= yt-yt-1 ;
базисный: Δб= yt-y0 .
где
yt - значение уровня ряда в момент (за период) t;
yt-1 - значение уровня ряда в предшествующий момент (период) времени;
y0 - значение уровня, выбранного за базу сравнения.
Показывает, отличие данного уровня ряда от предшествующего (базисного) уровня.
Измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Коэффициенты роста
цепной
базисный
Смысл?

Темп роста (!!!)

Темп прироста
Тпр = Тр - 100%
или
Тпр= (yt-yt-1)/yt-1 * 100%

Пример
y0=1000
y1=1000
Темп роста = ?
Темп прироста = ?

Средние характеристики рядов

Средние значения рядов
Интервальные ряды
Среднее арифметическое
Моментные ряды
Среднее хронологическое

Ряд средних значений
Производный ряд

Средний абсолютный прирост

Средний темп роста

Интерпретация
Обязательно должно быть указание на период времени!
Примеры:
за последние семь лет ежегодный прирост объема продаж в среднем составлял 10%;
в текущем году ежемесячно уровень безработицы снижался в среднем на 0,5% .

Средний темп роста, пример
оплата 0.0.24 = ?

Компоненты временного ряда
Уровни временных рядов
Стабильные факторы формируют тренд =
основную тенденцию = основное направление изменения и его характер
Циклические факторы влияют на уровни периодически
Циклы Китчина, 2…3 года
Волны Кондратьева, 50…60 лет
Ритмы Кузнецова, 15…20 лет
Циклы Жюгляра, 6…13 лет
Сезонные колебания
Случайные колебания – не поддаются изучению в рамках статистики

Компоненты временного ряда
Уровень ряда может быть представлен как функция четырех компонент:
y=f (T,S,C,E)
где T – трендовая компонента;
S – сезонная компонента;
C – циклическая компонента;
E – случайная компонента.

Примеры
графического отображения рядов
с разной структурой

Выравнивание рядов
Цель — устранить влияние случайных факторов
и выявить тенденцию = тренд

Выравнивание методом скользящих средних
Исходный ряд;
Среднее по 3 точкам;
Среднее по 7 точкам
Сколько точек у сглаженного ряда?

Аналитическое выравнивание
Это описание формы тренда =
уравнение (модель) тренда.
Уравнение тренда – это уравнение парной регрессии, фактор - время t.
Переменная t задается простой последовательностью чисел от 1 до n.
Линейный тренд:
y=a0+a1×t
где y –среднее значение уровней временного ряда; a0 и a1 – параметры уравнения тренда; t – время (независимая переменная, фактор)

Применимость аналитического выравнивания

Стационарность
Модель можно строить только для стационарного ряда!
Стохастический процесс называется стационарным, если его основные свойства остаются неизменными во времени:
среднее = ?
дисперсия = ?
автокорреляция = ?

Периодизация временных рядов
Периодизация – это деление ряда на периоды, различающиеся направленностью тенденций или интенсивностью изменения уровней ряда.
Обосновать необходимость периодизации временного ряда можно на основе оценки существенности различия дисперсий и средних значений уровней по выделяемым отрезкам ряда.
(См. Трамп)

Периодизация = ?

Оценка существенности различия средних по двум отрезкам

Оценка существенности различия средних по двум отрезкам
Если есть тренд, то должно иметься существенное различие между средними величинами и дисперсиями двух отрезков временного ряда.
Оценка существенности различий средних значений осуществляется на основе t-статистики: Как это сделать?

Автокорреляция
Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между последовательностями величин одного динамического ряда, взятыми со сдвигом по времени.

Автокорреляция
график со сдвигом на 12 периодов

Автокорреляционная функция
Автокорреляционная функция —
зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и ее сдвинутой копией от величины временного сдвига (лага).
«Феноменальная сезонность»(?)

Оценка наличия тренда
Для оценки наличия тренда может быть использован анализ автокорреляционной функции.
Если коэффициент автокорреляции первого порядка (лаг =1) статистически значим и автокорреляционная функция медленно убывает, то это говорит о присутствии тренда.
r – коэффициент автокорреляции, лаг = 1.
σr – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции
n – число измерений ряда

Оценка наличия тренда
Разгон автомобиля, измерения каждые 1/10 секунды
Автокорреляция с лагом 1 = ?

Автокорреляционная функция
Авто-корре-ляция
Белый шум?
Corr. p

Выбор вида уравнения тренда

Примеры уравнений тренда
Полином к-й степени:
Показательная
функция:
Гипербола:
Логистические кривые (Перла-Рида, Гомперца, другие S-образные кривые)

Примеры уравнений тренда

Способы выбора
Графическое представление ряда (видно на глаз)
Метод последовательных разниц (Абсолютные приросты примерно одинаковы => линейный тренд).
Формализованный подход (рассчитываем несколько вариантов, смотрим, который «лучше»)

Графическое представление

Основной формальный критерий
Минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений уровней от значений, полученных по уравнению тренда:
где – фактический уровень ряда периода t;
– теоретический уровень ряда периода t , полученный на основе уравнения тренда.
См. выше – как построили кривые?

Другие критерии
Максимальное значение критерия Фишера:
Максимальное значение коэффициента детерминации:
Минимальное значение остаточной дисперсии.

Другие критерии
Минимальное значение среднеквадратической ошибки уравнения тренда:
Минимальное значение средней ошибки аппроксимации:

Оценка результатов

Оценка качества уравнения тренда
Компьютеру задаются:
исходные данные – значения ряда
вид уравнения
Компьютер рассчитывает:
параметры уравнения тренда
статистическую значимость параметров уравнения тренда (t-статистика)
статистическую значимость уравнения в целом (F-критерий)
Если значимость отсутствует, уравнение непригодно
И что тогда делать?

Оценка автокорреляции в остатках
Остатки – разность между фактическими значениями уровней ряда и значениями, полученными по уравнению регрессии.
Автокорреляция остатков – это зависимость остатков периода t от остатков предшествующего периода (t-i).
Если автокорреляция в остатках значима, то не все закономерности
учтены моделью
Должен остаться
белый шум
Прогноз похож на правду?

Прогнозирование методом экстраполяции

Роль прогнозирования

Экстраполяция = прогнозирование
Экстраполяция - это продление в будущее тенденции, сложившейся в прошлом.

Экстраполяция
Нью-Йорк 1887

Прогноз будущего в начале XXI века

Прогноз будущего в начале XX века

Прогноз будущего в начале XX века

Условия экстраполяции
Отсутствует значимая автокорреляция в остатках;
Параметры уравнения тренда статистически значимы; Уравнение тренда статистически значимо;
Действие факторов, сформировавших тенденцию (закономерность) развития, в будущем сохранится неизменным.

Динамика коммерческого грузооборота
в России (поквартально, млрд. т.-км.)

Уравнение тренда динамики коммерческого грузооборота

Прогнозирование по выбранному уравнению регрессии
1. Делается точечный прогноз путем подстановки значения порядкового номера периода, на который делается прогноз, в уравнение тренда.
2. Рассчитывается доверительный интервал прогноза с учетом ошибки оценивания.

Точечный прогноз
коммерческого грузооборота
=1202,83(млрд.тонно-км.)
Что еще требуется?

Доверительный интервал прогноза
1202,83 - 2*22,05
1158,73
достоверность 95%
(факт оказался =1167 млрд.тонно-км.)
Прогноз на небольшой срок (1/10 длины ряда)

Другие методы прогноза

Методы погнозирования
Экстраполяция
Моделирование
Сценарии
Историческая аналогия
Экспертные оценки
«Адвокат дьявола»

Динамическая модель
Дифференциальные уравнения: величина зависит от скорости изменения другой величины или наоборот
(скорость убывания пищевых ресурсов зависит от численности населения)
В чем главный минус?

Глобальное потепление

Метод сценариев

Сценарии будущего

Сценарии будущего

Исторические аналогии
Выявляется сходство с другим объектом.
Допущение: основные события прошлых лет повторятся в будущем, если факторы, их порождающие, сохранят свое значение.
Трудности
отличить истинную причину от мнимой
обеспечить репрезентативность наблюдений для отражения возможных ситуаций в будущем
Самолет «Илья Муромец» – 1913. Ремни безопасности в самолетах – 1930. Разница 17 лет.
Серийный ВАЗ – 1970. Ремни – 1975. Разница 5 лет.
Сапсан – 2009. Ремни = ?
Разницы: 17 лет, 5 лет, среднее: 11 лет. Это и есть прогноз разницы.
Ремень в Сапсане будет в 2020 году.

Экспертные оценки
Форсайт – фактически, это мозговой штурм
Есть много приемов, например, Уолта Диснея
Метод Дельфи – достижение консенсуса (см Internet)

Адвокат дьявола
Метод суда.
Делается прогноз.
Назначается адвокат, прокурор, судья, присяжные.
Идет процесс.
Рассматриваются все «за» и «против».
Откуда пошло название?

Номинальный ВВП РФ
В текущих ценах

Номинальный ВВП в USD на человека

Реальный ВВП РФ
Реальный ВВП = Номинальный ВВП / Общий уровень цен