Степени и их свойства

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 86.

А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:
степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.
Запись an читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.

А вот следующие записи можно произносить по-разному:
a2– её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;
a3 – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».
Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:
a1 = a
a0 = 1
0n = 0
1n = 1.
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.

Рассмотрим несколько примеров.
Возведём в степень
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
2,53 = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625
Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число.
Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.
Например, (-2)5. Ответ будет отрицательным, так как показатель степени, 5 - нечётное число.
(-2)5 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -32.
А вот в этом примере (-5)4 ответ будет положительным, так как показатель степени, 4 – чётное число.
(-5)4 = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.

Рассмотрим такой пример:
42 ∙ 52 = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5)2 = 202 = 400.
Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:
an∙ bn = (a ∙ b)n

Приведём еще такой пример:
52 ∙ 55 = (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 57.
Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е.
an ∙ am = an+m

Наконец, рассмотрим равенство:
(72)3 = (7 ∙ 7)3 = (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 76.
Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.
(an)m = an∙m

Подытожим
Таблица свойств степеней

Скажи названия компонентов выражения:

Вычисление значений выражений
Каждому выражению поставьте в соответствие его значение.

Степень числа
Сравните числа, не выполняя вычислений.

Значение степени
Найдя значения выражений, вы разгадаете кроссворд
1
96
360

Найдите значение выражения.
102 · 103 · 10 : 105 =
=
10
Расположите выражения в порядке возрастания их значений.

Вычислите значение выражения.
80
Найдите значение выражения.