Теорема Фейербаха

Карл Вильгельм фон Фейербах — немецкий математик, сын криминалиста Пауля фон Фейербаха, старший брат философа Людвига Фейербаха и писателя Фридриха Фейербаха, преподаватель гимназии в Эрлангене.
Доказал в 1822 теорему об окружности девяти точек, ныне известную как «Теорема Фейербаха».

Теорема Фейербаха гласит:
Окружность 9 точек(окружность Эйлера) касается вписанной и 3 вневписанных окружностей этого треугольника.
Точки касания названы в честь этого математика: точки Фейербаха.
Существует очень много доказательств этой теоремы. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему Кези.

Свойства и определения:
Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью
Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.
Три точки касания трёх вневписанных окружностей треугольника с его с окружностью девяти точек образуют так называемый треугольник Фейербаха для данного треугольника.