Теорема косинусов

Повторить понятие о косинусе угла:
1.Дайте определение косинуса.
2.Значения косинусов некоторых углов от от 0о до 90о;

Историческая справка
Впервые теорему косинусов доказал Аль-Бируни (973 – 1048), среднеазиатский учёный-энциклопедист и мыслитель.

a2 =
B
a
A
C
c
b
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
b2 + c2
– 2bc
cosA
Теорема косинусов

Доказательство:
А
С
В
у
х
(0;0)
(с;0)
(bcos A;bsin A)
b
c
a
Дано:
ΔАВС
АВ=с
АС=b
BC=a
Доказать:

AB2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
BC2 + CA2
cos
Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный)
900
C
0
AB2 = BC2 + CA2
Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

XR2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
RР2 + XР2
cosР
RР2 =
RX2 + XР2
cosX
XР2 =
RX2 + RР2
cosR

F
D
С
Записать для данного
треугольника теорему
косинусов для каждой
стороны.

4
4
5
AB2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
BC2 + AC2
cosC
С
А
В
5
AB = 41 – 20
2
2
5
300
300
?
4
Найти АВ
№1

600
5
5
3
3
3
5
ВD2 =
АВ2 + AD2
cos
ВD2 = 19
2
2
?
А
600
D
A
B
C
ABСD – параллелограмм. Найти ВD.
600
№2

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …
а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;
б) сумме квадратов двух других его сторон;
в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
тест

тест
2. Заполни пропуски. В треугольнике KHT .
а) KH;
б) HT;
в) TK.

тест
3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?
а) C;
б) D;
в) O.

тест
4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:
а)
б)
в)

тест

Учебное задание.
1)
Найдите х
2)
3)