Теория и практика статистических выводов. Лекция 3

Понятие статистического вывода
Статистический вывод: использование выборочных данных для получения и формализации знаний о свойствах генеральной совокупности
Оценить количественные характеристики генеральной совокупности (вопрос «насколько точно?»)
Выбрать и настроить модель описания генеральной совокупности (вопрос «подходит или нет?»)
Валидировать модель, т.е. оценить ее качество (вопрос «насколько близко?»)

Метод Монте-Карло
Генеративный (регенеративный) подход: исследование статистических свойств на основе «размножения» заданной выборки
Механизмы генерации:
На основе априорных знаний о свойствах генеральной совокупности
На основе действий с выборкой

Случайные числа
Значения γ равномерно распределенной случайной величины
в интервале [0,1]:
Псевдослучайные числа (ПСЧ): на основе детерминированного алгоритма (заданный период повторяемости)
Случайные числа (СЧ): на основе физических механизмов или алгоритма ПСЧ с внешним источником энтропии (бесконечный период повторяемости)
Методы, основанные на перемешивании за счет сдвига регистра, в том числе - «Вихрь Мерсенна» (период 219937 − 1)

Моделирование случайных событий
Выбор варианта реализации события
по значению γ:
Геометрическая интерпретация случайного события заданной вероятности P(A) - имитация попадания точки в интервал [0,P(A)]

Моделирование дискретных величин
Закон распределения
(вероятности набора событий)
Выбор реализации события
при попадании точки в
интервал

Моделирование непрерывных величин (1/3)
Дискретно-равномерное приближение
(на основе группированных данных)
Выбор номера
столбца i
Выбор значения х
внутри столбца

Моделирование непрерывных величин (2/3)
Метод обратной функции
(на основе преобразования квантилей)

Моделирование непрерывных величин (3/3)
Геометрический метод
(на основе плотности распределения)
при условии, что

Моделирование гауссовых случайных величин
1) На основе центральной предельной теоремы:
Нормированное распределение Гаусса N(0,1)

Интервальное оценивание на основе Монте-Карло
Для избранной статистики :
Сгенерировать M выборок
Выбрать метод моделирования случайной величины с этим распределением
Рассчитать по каждой выборке точечную оценку статистики
По выборке определить характерные параметры,
в том числе границы β%-доверительного интервала:

Задача об отборе на выставку кошек (1/2)
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии для: (а) выборки из всех 109 кошек, (б) для случайно отобранных 10 кошек

Задача об отборе на выставку кошек (2/2)
Для малых выборок асимптотические формулы некорректны, а метод Монте-Карло – без ограничений

Непараметрические методы: бутстреп
Формирование М псевдовыборок
на основе случайного выбора с возвращением из исходной выборки:
Псевдовыборки

Непараметрические методы: джекнайф
Формирование N подвыборок
путем выкалывания одного из членов исходной выборки:
Подвыборки
Методическая проблема джекнайфа и бутстрепа: смещенность оценок

Обобщение: генеративная статистика
Метод Монте-Карло: универсальный инструмент статистического оценивания, когда аналитика не справляется
Методы моделирования случайных величин: могут использовать как параметрические, так и непараметрические оценки распределений
Интервальное оценивание на основе метода Монте-Карло: просто, надежно, но чувствительно к модели распределения
Методы бутстреп и джекнайф: не зависят от распределения, но оценки могут быть смещены

Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
[e-mail]
Автор признателен всем котикам
(и хозяевам) за возможность некоммерческого использования их изображений, размещенных
в публичном Интернете

ЗАНЯТИЕ 3
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ
Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
Раздел 2. Проверка гипотез. Непараметрические статистические критерии

Проверка статистических гипотез
=
?
Нулевая (базовая) гипотеза
?

Гипотеза о виде распределения (пример)
Альтернатива :
Выборочная характеристика
Теоретическая характеристика
Критерий согласия

Критерии: сравнение характеристик
Односторонний критерий
Двусторонний критерий
Ошибка проверки непараметрических гипотез (ошибка
I рода) – с вероятностью α отвергнуть верную гипотезу

Критерий Колмогорова
Проверка гипотезы о виде (модели) распределения
Статистическая характеристика:
- квантиль
распределения
Колмогорова
Максимальное расстояние между объектами
Теоретическое
распределение

Критерий (Крамера-вон Мизеса-Смирнова)
Проверка гипотезы о виде (модели) распределения
Статистическая характеристика:
- квантиль табулированного распределения

Значение случайной величины x
Проверка гипотезы о виде (модели) распределения по группированным данным
Статистическая характеристика :
Критерий (Пирсона)
- квантиль
распределения

Вероятностный биплот
Критерии для проверки однородности
Критерий Колмогорова Смирнова
Критерий Розенблатта
Правила проверки –
как для критериев
согласия

Задача о поддельных мейн-кунах (1/3)
В одном питомнике разводят крупных котов и продают как мейн-кунов. Однако ассоциация заводчиков мейн-кунов засомневалась в том, что эти коты действительно принадлежат породе, а не являются смесью c норвежской лесной кошкой. Для того, чтобы принять или отклонить гипотезу о принадлежности котов из питомника породе мейн-кун, заводчики решили сравнить распределения характерного параметра кошек между собой. В качестве параметров для сравнения могут быть выбраны отношения длин тел животных, хвостов или хвоста к длине тела.
Известно, что в средние длина тел котов норвежской породы и мейн-кунов совпадает и составляет 47 - 50 см. Известно также, что отношение длины хвоста к телу у породистых норвежских кошек должно быть больше 0,9, а у породистых мейн-кунов больше 3/5. Для чистоты эксперимента сравнение решили проводить только на взрослых котах, которых в питомнике оказалось 30. Из базы ассоциации мейн-кунов для сопоставления были выбраны 43 самых породистых кота.
Однако, стоит учесть, что если кошки из питомника являются смесью пород, тогда ими могут быть унаследованы как признаки мейн-кунов, так и норвегов, поэтому некоторые известные соотношения могут нарушаться.
a
b
x = a/b

Задача о поддельных мейн-кунах (2/3)

Задача о поддельных мейн-кунах (3/3)

Критерий ранговых сумм Вилкоксона
Альтернативная гипотеза :
Неоднородность как превалирование
Статистическая характеристика:
Критерий проверки
(отрицание ):

Обобщение: непараметрические критерии
Решаемые задачи: проверка соответствие распределения определенному закону, проверка однородности двух выборок.
Все критерии несовершенны: критерий Колмогорова прост, но чувствителен к выбросам, критерий согласия Пирсона – для группированных данных (все проблемы гистограмм), критерий Крамера-вон Мизеса-Смирнова табулирован не для всех распределений
Проверку можно строить по-разному: просто проверять неоднородность, модифицируя критерии для теоретических распределений (Смирнова, Розенблатта), или оценивать превалирование (критерии Вилкоксона и Манна-Уитни).
Проверка гипотез – не панацея: она может только опровергать,
но не может доказывать.

Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
[e-mail]
Автор признателен всем котикам
(и хозяевам) за возможность некоммерческого использования их изображений, размещенных
в публичном Интернете

ЗАНЯТИЕ 3
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ
Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
Раздел 3. Проверка гипотез. Параметрические статистические критерии

Логика параметрических критериев
Объект исследования –
набор параметров , характеризующих модель распределения генеральной совокупности

Построение наиболее мощных (в своем классе) критериев:
Критическая зона для значимости α
Зона ошибки II рода для критерия с мощностью 1-β
Уровень значимости 1-α
Мощность 1-β
0
1
0
1
Ошибка статистического оценивания (вероятность 1-β): упустить истинное значение из β%- доверительного интервала
Ошибки проверки гипотез:
А) Ошибка I рода (вероятность α): отвергнуть верную гипотезу
Б) Ошибка II рода (вероятность γ): принять неверную гипотезу
при заданном уровне значимости α
Ошибки первого и второго рода

Распределение статистики
Плотность распределения
Значение статистики
Плотность распределения
Значение СВ
Критерий для среднего значения
Базовая гипотеза:
Для больших выборок:
Статистическая характеристика:
Критерий проверки:
Для малых выборок (N<30):
Критерий проверки:
=
?

- табличная квантиль
распределения с N-1
степенью свободы
Распределение статистики
Плотность распределения
Значение статистики
Критерий для выборочной дисперсии
Базовая гипотеза:
Статистическая характеристика:

Распределение статистики
Плотность распределения
Значение статистики
Плотность распределения
Значение статистики
Распределение статистики
Критерий для равенства средних и дисперсий
Равенство двух средних значений:
Статистическая характеристика:
Критерий проверки:
Равенство двух выборочных дисперсий:
Статистическая характеристика:
Критерий проверки:
- табулированное распределение Фишера

Суждение о выраженности пика распределения
Базовая гипотеза:
Суждение об асимметрии распределения
Базовая гипотеза:
Распределение статистики
Плотность распределения
Значение статистики
Распределение статистики
Плотность распределения
Значение статистики
.
Критерии для асимметрии и эксцесса
Критерий проверки:
Критерий проверки:

Метод Монте-Карло для проверки гипотез
Для базовой гипотезы и альтернативы :
Сгенерировать M выборок по закону ,и М выборок по закону
Выбрать метод моделирования случайной величины с этим распределением
Рассчитать по каждой выборке точечную оценку параметров и
Оценить распределения и оценок параметров
Для заданного значения уровня значимости найти ошибку второго рода .

Задача об отборе на выставку кошек (продолжение)
Средний вес по выборке из 30 кошек составил 5.97 кг, а СКО – 0.39 кг.
Можно ли с 10% уровнем значимости считать, что математическое ожидание веса кошек по генеральной совокупности составляет 6.0 кг?
Какова при этом
вероятность реализации
гипотезы, что математичес-
кое ожидание веса кошек
составляет 6,3 кг?

Развитие: статистические игры и решения
Риск: средние потери при решении
Смысл игры: предугадать реакцию
«противника» (значение Ξ) так, чтобы
минимизировать свои риски

Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
[e-mail]
Автор признателен всем котикам
(и хозяевам) за возможность некоммерческого использования их изображений, размещенных
в публичном Интернете

ЗАНЯТИЕ 3
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ
Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
Раздел 4. Конструктивные модели распределений

Подбор распределения как задача приближения
Минимизация нормы невязки:

Идея метода наименьших квадратов (МНК)
Невязка как евклидово расстояние:
Идея метода (минимизация суммы квадратов невязок по L характерным квантилям):
Реализация метода (система уравнений):

МНК для линейно-масштабируемых величин
Квантиль линейно-масштабируемой величины:
- квантиль нормированного
модельного распределения
Реализация МНК:
система из двух линейных алгебраических уравнений

Простейшее приближение: МНК по всей выборке
МНК
Среднее и СКО
по выборке
Задача: приблизить модельное распределение к выборке, которая
не вполне ему соответствует
Все выборочные
квантили равнозначны,

Взвешенный МНК: учитываем особенности
Целевая функция с весами
Среднее и СКО
по выборке
МНК
МНК
Выборочные квантили неравнозначны,

МНК по избранным квантилям
Среднее и СКО
по выборке
МНК А
(по центральным
квантилям)
МНК Б
(по верхним
квантилям)
Предположение: избранные квантили равнозначны,
A: квантили (10%,25%,35%,50%,65%,75%)
Б: квантили
(75%,85%,90%,95%, 97%,99%)

Модель усеченного распределения

Модель склейки распределений
С – нормировочная константа
Точка
склейки

Модель смеси распределений

Модель распределения с засорением
5%
95%
- параметр масштаба засорения

Модель в форме ряда Эджворта
Разложение в окрестности модельного распределения

Обобщение: конструктивные распределения
Метод МНК: удачный механизм для «натягивания» моделей распределений на реальные данные
Механизмы управления детализацией модели распределения: выбор весов и расположения квантилей для МНК.
Составные модели распределений (усечение, склейка): применение МНК к разным частям вариационного ряда
Модели на основе смесей: просто использовать, сложно оценивать
Разложения в ряд Эджворта: эффективно, но лишь при малых отклонениях

Александр Валерьевич Бухановский
[e-mail]
Автор признателен всем котикам
(и хозяевам) за возможность некоммерческого использования их изображений, размещенных
в публичном Интернете

ЗАНЯТИЕ 3
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ
Александр Валерьевич Бухановский, Анна Владимировна Калюжная
Раздел 5. Практическая реализация с использованием инструментов компьютерной математики

Инструменты компьютерной математики
MATLAB
R
Python
MS Excel
Statistica

Интервальное оценивание на основе Монте-Карло
в MATLAB

Тест Колмогорова-Смирнова в MATLAB

Интервальное оценивание на основе Монте-Карло
в Python

Тест Колмогорова-Смирнова в Python

Колонтитул
Метод наименьших квадратов в Statistica(1/2)

Колонтитул
Метод Монте-Карло в Statistica(2/2)

Проверка статистических гипотез в Excel (1/1)

Интервальное оценивание на основе Монте-Карло в R (1/2)