Теория множеств

У Г А Т У
Лекционное занятие
Рекомендовано
для обучающихся по направлениям
Уфимский государственный авиационный технический университет
09.02.00 Информатика и вычислительная техника
09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям)
09.02.07 Информационные системы и программирование

У Г А Т У
План
Уфимский государственный авиационный технический университет
Множества и элементы множеств.
Сравнение множеств.
Операции над множествами.
Диаграммы Эйлера – Венна.
Свойства операций над множествами.
Лекционное занятие

У Г А Т У
1. Множества и элементы множеств
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
1. Множества и элементы множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
1. Множества и элементы множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
1. Множества и элементы множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Кроме того, в теории и на практике рассматриваются так называемое пустое множество и универсальное множество.
Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Ø.
Универсальное множество U (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении. U – множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.
1. Множества и элементы множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
2. Сравнение множеств
Лекционное занятие

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
2. Сравнение множеств
Множество G является подмножеством множества A, если каждый элемент множества G принадлежит множеству A. Иными словами, множество G содержится во множестве A:
G ⊂ A
Значок ⊂ называют значком включения.
Вернёмся к примеру, в котором A – это множество букв русского алфавита. Обозначим через G – множество его гласных букв. Тогда: G ⊂ A
Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества A.

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.
Пусть S1 – множество студентов в 1-м ряду, S – множество студентов группы, U – множество студентов университета. Тогда отношение включений S1 ⊂ S ⊂ U можно изобразить следующим образом:
2. Сравнение множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
2. Сравнение множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
2. Сравнение множеств

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
3. Операции над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
3. Операции над множествами
Пересечение.
Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком ∩.
Пересечением множеств A и B называется множество A∩B , каждый элемент которого принадлежит и множеству A, и множеству B. Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств. Например:
A = {i, j, k} B = {k, m}
A∩B = {k}
Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Например множества Q рациональных и I иррациональных чисел не пересекаются Q ∩ I = Ø.

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Объединение.
Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком ∪
Объединением множеств A и B называется множество A∪B , каждый элемент которого принадлежит множеству A или множеству B. Например:
A = {1, 3, 5,7}
B = {5, 10, 15,20}
A∪B = {1, 3, 5, 7, 10, 15, 20} – нужно перечислить все элементы множеств A и B, причём одинаковые элементы (в данном случае 5 на пересечении множеств) следует указать один раз.
3. Операции над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Разность.
Разностью множеств A и B называют множество A\B, каждый элемент которого принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B.
Разность A\B читается следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества A = {a, b, c, d}, B = {a, d, e, f}. Чтобы записать разность , нужно из множества A «выбросить» все элементы, которые есть во множестве B:
A\B = {b, c}
Пример с числовыми множествами:
Z\N = { …, - 3, - 2, - 1, 0} – здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись Z\N так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».
3. Операции над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Зеркально: разностью множеств B и A называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству B и не принадлежит множеству A.
Для тех же множеств A = {a, b, c, d}, B = {a, d, e, f}.
B\A = {e, f} – из множества B «выброшено» то, что есть во множестве A.
А вот эта разность оказывается пуста: N\Z = Ø. И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется.
Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность AΔB, которая объединяет обе разности:
AΔB = A\B ∪ B\A– иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».
AΔB = {b, c, e, f}
3. Операции над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Декартово произведение множеств
Декартовым (прямым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a, b), в которых элемент a∈A, а элемент b∈B.
Запишем декартово произведение множеств A = {a, b, c}, B = {1, 2}:
A × B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)} – перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества A последовательно присоединяем каждый элемент множества B, затем ко 2-му элементу множества A присоединяем каждый элемент множества B, затем к 3-му элементу множества A присоединяем каждый элемент множества B».
3. Операции над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Зеркально: декартовым произведением множеств B и A называется множество всех упорядоченных пар (b, a), в которых b∈B, a∈A. В нашем примере:
B × A={(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
– здесь схема записи аналогична: сначала к «единице» последовательно присоединяем все элементы множества A, затем к «двойке» – те же самые элементы.
Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары.
Декартово произведение R × R – это есть не что иное, как множество точек декартовой системы координат X0Y.
3. Операции над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
4. Диаграммы Эйлера – Венна

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.
4. Диаграммы Эйлера-Венна

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
4. Диаграммы Эйлера-Венна

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
5. Свойства операций над множествами

У Г А Т У
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лекционное занятие
5. Свойства операций над множествами