Центральная симметрия

А
В
О
Центральная симметрия.
Центральная симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О.
Точка О называется центром симметрии фигуры.
Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе.
На рисунке точки М и М1, N и N1
симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.
М
М1
N
N1
О
Р
Q

Теорема. Центральная симметрия – движение.
Доказательство:
Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY.
Вместе с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX'
Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY
Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.
Y'
Y
X'
X
O
Свойство центральной симметрии: центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат.
Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами:
x0 = -x0 y0 = -y0
у
х
0
А(x0;y0)
А1(-x0;-y0)
x0
-x0
y0
-y0

Примеры из жизни.
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.
Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей.
Центральная симметрия встречается в форме воздушного и подводного транспорта (воздушный шар, парашют), архитектуре, технике, искусстве и быту.
Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов(голубика, черника, вишня, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки), а также для животных, ведущих подводный образ жизни (амёба).
О
О

Примеры из жизни.
Одним из самых красивых примеров центральной симметрии является снежинка.
Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней, некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар).
Куб
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр
Три различных гиперболоида

Примеры решения задач.
Дано: ABCD - параллелограмм, треугольники ABM, BCK, CDP, DAH - правильные
Доказать: KPHM - параллелограмм
Решение:
Рассмотрим центральную симметрию (поворот на 180 градусов) относительно точки O. Пусть f - центральная симметрия.
f(B) = D, f(A) = C, f(D) = B, f(C) = A.
При центральной симметрии f треугольник BCK (правильный) перейдет в равный ему треугольник DAH (правильный), по свойствам осевой симметрии (углы сохраняются). Аналогично треугольник AMB переходит в треугольник CPD.
f(M) = P, f(K) = H, отсюда KO = OH, MO = OP, по признаку параллелограмма, KPHM – параллелограмм.