Виды кривых, замечательные кривые. Окружность и круг

При обучении геометрических фигур, кривых на уроках математики преподавателю необходимо создать у учеников правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить их навыками черчения и измерения, сравнения, анализа, которые имеют большое жизненно - практическое значение.

Знакомство с кривыми и изучение их свойств углубит знания, геометрические представления, повысит интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.

Виды кривых
Кривые первого порядка
Кривые второго порядка
Кривые третьего порядка

Кривые первого порядка
Линия первого порядка на плоскости определяется алгебраическим уравнением первой степени относительно декартовых координат x и y:
Ax+By + C = 0 (1)
Уравнение (1) определяет прямую на плоскости.

Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: (2)
где хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
Уравнение (2) определяет кривую линию, которая называется кривой второго порядка.

Кривыми второго порядка могут быть:
окружность;
эллипс;
гипербола;
парабола;
- их вырождения.

Окружность.
Окружностью называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, расстояние которых до данной точки A(a, b) этой плоскости (называемой центром этой окружности) есть величина постоянная R - радиус окружности.

Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости (называемых фокусами этого эллипса) есть величина постоянная

Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости (называемых фокусами этой гиперболы) есть величина постоянная.

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, равноотстоящих от данной точки F этой плоскости (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой параболы), предполагая, что на ней не лежит эта точка F.

Кривые третьего порядка
Примером кривой третьего порядка рассмотрим строфоиду.
Алгебраическая кривая в Евклидовой плоскости называется циркулярной,
если она проходит через абсолютные циклические точки. Циркулярная кривая 3-го порядка называется строфоидой, если она имеет двойную узловую точку с ортогональными касательными в этой точке.

Неприводимая строфоида с осью симметрии называется прямой.

Без оси симметрии - наклонной или косой.

Примеры задач из учебника Н.Б. Истоминой и М.И.Моро.
Примеры из учебников Н.Б. Истомина и М.И. Моро направлены на изучение геометрических тем, на построение кривых линий, окружностей, отрезков.

М.И.Моро

М.И.Моро

М.И.Моро

Н. Б. Истомина

Н. Б. Истомина

Н. Б. Истомина

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Часто мы не замечаем, что в жизни нас окружает множество кривых. Мы встречаем их в быту, архитектуре, природе. Даже в древнейшие времена уже были использованы при построении различных архитектурных строений знания и свойства о кривых.

Кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой или простой дугой.

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство Cтопологической размерности 1.

Улитка Паскаля - плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля, впервые рассмотревшего её.

Роза Гранди
Как-то раз итальянский геометр Гвидо Гранди(1671-1742) создал розы. Розы радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы - они предопределены специально подобранными математическими зависимостями.

Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Архимедова спираль – плоская кривая, описываемая точкой M, равномерно движущейся по прямой OA, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек O.

Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна.

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Окружность - это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, который соединяет центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом. Также радиусом называется и длина этого отрезка. Внутренность окружности называется кругом;

окружность
круг

УМК «Школа России» М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова
В программе по математике авторского коллектива под руководством М.И. Моро, в 3-ем классе ученики знакомятся с понятиями круг и окружность. Знакомство с этими фигурами осуществляется на уровне представлений.

Ученики должны научиться:
узнавать круг и окружность;
знать, что окружность — это линия, являющаяся границей круга;
уметь строить с помощью циркуля окружность;
знать, что такое радиус и диаметр окружности (круга).
Для решения этих учебных задач используются различные практические упражнения. При их подборе, выборе методов и приемов работы с ними необходимо учитывать те подходы к определению окружности и круга, которые имеют место в школьном курсе геометрии.

3 класс 1 часть
Тема урока:
«Круг.Окружность»

Образовательные задачи урока:
-Сформировать первоначальные представления об окружности и ее элементах (центр, радиус, диаметр);
-познакомить с новым чертежным инструментом – циркулем и правилами техники безопасности в обращении с колющим предметом; -содействовать развитию внимания, мышления, познавательной активности учащихся, их интереса к предмету, умения строить окружность и радиус с помощью циркуля и линейки;

«Доли»
Раздел, в котором проходит изучение темы
« Круг. Окружность» - «Доли».
Назовите, какие доли круга получились на каждом чертеже.
Сравните, какая доля больше:
- одна восьмая или одна четвёртая;
- одна третья или одна шестая.

Это - окружность
ОКРУЖНОСТЬ – замкнутая линия, все точки которой равноудалены от точки О (центра окружности).
О

Это - круг
О
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Учимся строить окружность!

Алгоритм

АО - радиус окружности
О
А
ОВ - радиус окружности
В
Радиусы одной окружности равны

ДИАМЕТР (от греч. поперечник) - отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр.
Посмотрите на рисунок и сравните длину радиуса с длиной диаметра.
А
В
О

АО - радиус окружности
О
А
АВ - диаметр окружности
В

Очень важное значение при усвоении понятий окружность и круг имеют задания, направленные на воспроизведение знаний и их применение.
1. Работа в парах. Ученики, сидящие за одной партой, составляют словесные портреты круга и окружности и читают их друг другу.
2. Сад «Окружностей и кругов». С помощью кругов и окружностей ученики должны нарисовать рисунок.
3. Геометрические орнаменты.
— Продолжите орнаменты на всю ширину тетради.
Придумайте свои орнаменты, где бы использовались круги, окружности или части из них.
4. Составление загадок о круге, об окружности.

Итог
Как итог можно добавить, что работа по формированию навыков должна проводится постепенно почти на каждом уроке ( и не только на уроках математики).