Виды неопределенностей и методы их разрешения

Для раскрытия такого вида неопределенности необходимо:
разделить все слагаемые числителя и знаменателя на переменную х в старшей степени;
рассмотреть предел каждого слагаемого.
При раскрытии неопределенности такого вида возможны три случая:
а). Степень многочлена числителя равна степени многочлена знаменателя.

На основании теоремы о пределе частного, суммы (разности) рассмотрим предел каждого слагаемого

б). Степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя

в). степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя

Предел отношения двух многочленов при равен
1. если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, по предел равен нулю.
2. если степень многочлена числителя равна степени многочлена знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старшей степени переменной;
3. если степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя, по предел равен бесконечности;

2. Неопределенность вида .
Метод раскрытия неопределенности такого вида зависит от выражения стоящего под знаком предела, как правило выделяют два частных случая:
а). выражение стоящее под знаком предела является рациональной функцией:
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулами сокращенного умножения:

Разложим числитель и знаменатель на множители:
Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции являются многочленами второй степени, то для раскрытия неопределенности необходимо разложить и числитель и знаменатель на множители:

Для решения задачи необходимо
Определить корни числителя и знаменателя
Разложить многочлен на множители

Рассмотрим пример:
Вычислим корни многочлена числителя и знаменателя, разложим числитель и знаменатель на множители:

б). выражение стоящее под знаком предела, содержит дробно-иррациональную функцию
В этом случае для раскрытия неопределенности умножают и числитель и знаменатель на выражение сопряженное к иррациональному выражению и используют формулу сокращенного умножения
Например, знаменатель дроби является иррациональным выражением

Рассмотрим пример, когда числитель дроби является иррациональным выражением
Пример:

В этом случае и числитель и знаменатель содержат иррациональные выражения.

Первый замечательный предел
Если выражение, стоящее под знаком предела содержит тригонометрические функции, то для раскрытия неопределенности используют формулу первого замечательного предела.
Формулы, используемые при решении

Рассмотрим пример

3. Неопределенность вида
Для раскрытия неопределенностей такого вида применяется второй замечательный предел:
Рассмотрим пример:

Пример:

Пример:

Пример

Пример:

Пример:
Пример:

Пример:
Для решения задач данного типа, необходимо преобразовать выражение стоящее под знаком предела, используя свойства логарифмической функции.
Решение.

4. Неопределенность вида
Замечание: данный вид неопределенности возможен только при
Выражение, стоящее под знаком предела представляет собой разность бесконечно больших величин , для раскрытия неопределенности такого вида, необходимо умножить и разделить исходное выражение на сопряженное выражение и привести к виду

Решение.

Задача о непрерывном начислении процентов
Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц.
Банк выплачивает ежегодно р% годовых.
Определить размер вклада Qt через t лет.
Решение.
Простые проценты – размер вклада ежегодно увеличивается на одну и туже величину
За год
За два года
За t лет

2. Сложные проценты – размер вклада ежегодно увеличивается в одно и то же число раз равное
Таким образом
При начислении процентов n раз в году и ежегодном приросте р% процент начисления за - часть года составит

Размер вклада за t лет при nt начислениях составить
Рассмотрим начисление процентов каждое полугодие ( n=2), квартал (n=4), ежемесячно (n=12), непрерывно ( ).
Размер вклада за t лет составит
= е