Задача о баскетболисте. Расчетная работа №1

Содержание

Слайд 2

Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную

Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную
корзину.
Модель должна позволять:
вычислять положение мяча в любой момент времени;
определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
масса и радиус мяча;
начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
координаты центра и радиус корзины.

Содержательная постановка задачи

Слайд 3

Концептуальная постановка задачи

Гипотезы:
объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;
мяч будем считать материальной

Концептуальная постановка задачи Гипотезы: объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R; мяч
точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча;
движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;
движение мяча происходит
в одной плоскости, перпенди-
кулярной поверхности Земли
и проходящей через точку
броска и центр корзины;
пренебрегаем сопротивлением
воздуха и возмущениями,
вызванными собственным
вращением мяча.

Слайд 4

Математическая постановка:

В проекциях на оси координат:

Точность броска:

Δ = x(tk) – xk, где

Математическая постановка: В проекциях на оси координат: Точность броска: Δ = x(tk)
tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk.

Слайд 5

Рис. Схема к оценке точности броска

 

 

Рис. Схема к оценке точности броска

Слайд 6

Эффект Магнуса

«Крученый мяч»

Возникновение поперечной силы, действующей на тело, вращающееся в набегающем на него потоке  жидкости (газа); открыт нем. учёным Г. Г. Магнусом (Н. G. Magnus) в 1852.

Эффект Магнуса «Крученый мяч» Возникновение поперечной силы, действующей на тело, вращающееся в

Слайд 7

 Если вращающийся шар обтекает безвихревой поток, то вследствие вязкости жидкости 
скорость течения со стороны, где направления скорости  потока и вращения цилиндра 
совпадают (рис.), увеличивается, а со стороны, где они противоположны, уменьшается. 
В результате давление на одной стороне возрастает, а на другой уменьшается, 
т. е. появляется поперечная сила

 

 

Если вращающийся шар обтекает безвихревой поток, то вследствие вязкости жидкости скорость течения

Слайд 8

Требуется найти функцию y(t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

 

где f(t, y(t)) – заданная

Требуется найти функцию y(t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению где f(t, y(t)) – заданная
непрерывная функцию двух аргументов.

Численное решение задачи:

Слайд 9

Метод Эйлера

 

 

 

 

Заменим производную функции в точке разностным аналогом:

Тогда дифференциальное уравнение можно

Метод Эйлера Заменим производную функции в точке разностным аналогом: Тогда дифференциальное уравнение
заменить разностным:

Окончательно вычислительная процедура примет вид

 

 

Слайд 10

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Слайд 11

Математическая постановка задачи движения мяча с учетом эффекта Магнуса:

Уравнение движения в векторном

Математическая постановка задачи движения мяча с учетом эффекта Магнуса: Уравнение движения в векторном виде: Начальные условия:
виде:

Начальные условия:

Слайд 12

Уравнения движения в проекциях на оси:

Начальные условия:

Уравнения движения в проекциях на оси: Начальные условия:

Слайд 13

Чтобы записать расчетную схему метода Эйлера, каждое дифференциальное уравнение второго порядка

Чтобы записать расчетную схему метода Эйлера, каждое дифференциальное уравнение второго порядка заменим двумя уравнениями первого порядка:
заменим двумя уравнениями первого порядка:

Слайд 14

Тогда схема метода Эйлера:

Тогда схема метода Эйлера: