Задача о баскетболисте. Расчетная работа №1

Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.
Модель должна позволять:
вычислять положение мяча в любой момент времени;
определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
масса и радиус мяча;
начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
координаты центра и радиус корзины.
Содержательная постановка задачи

Концептуальная постановка задачи
Гипотезы:
объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;
мяч будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча;
движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;
движение мяча происходит
в одной плоскости, перпенди-
кулярной поверхности Земли
и проходящей через точку
броска и центр корзины;
пренебрегаем сопротивлением
воздуха и возмущениями,
вызванными собственным
вращением мяча.

Математическая постановка:
В проекциях на оси координат:
Точность броска:
Δ = x(tk) – xk, где tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk.

Рис. Схема к оценке точности броска

Эффект Магнуса
«Крученый мяч»
Возникновение поперечной силы, действующей на тело, вращающееся в набегающем на него потоке жидкости (газа); открыт нем. учёным Г. Г. Магнусом (Н. G. Magnus) в 1852.

Если вращающийся шар обтекает безвихревой поток, то вследствие вязкости жидкости
скорость течения со стороны, где направления скорости потока и вращения цилиндра
совпадают (рис.), увеличивается, а со стороны, где они противоположны, уменьшается.
В результате давление на одной стороне возрастает, а на другой уменьшается,
т. е. появляется поперечная сила

Требуется найти функцию y(t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
где f(t, y(t)) – заданная непрерывная функцию двух аргументов.
Численное решение задачи:

Метод Эйлера
Заменим производную функции в точке разностным аналогом:
Тогда дифференциальное уравнение можно заменить разностным:
Окончательно вычислительная процедура примет вид

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Математическая постановка задачи движения мяча с учетом эффекта Магнуса:
Уравнение движения в векторном виде:
Начальные условия:

Уравнения движения в проекциях на оси:
Начальные условия:

Чтобы записать расчетную схему метода Эйлера, каждое дифференциальное уравнение второго порядка заменим двумя уравнениями первого порядка:

Тогда схема метода Эйлера: