Застосування криволінійних координат для розв'язування задач

Содержание

Слайд 2

Цілі та задачі

Мета роботи: вивчення застосування полярної, циліндричної, сферичної систем координат

Цілі та задачі Мета роботи: вивчення застосування полярної, циліндричної, сферичної систем координат
до розв’язування задач.
Об’єкт дослідження: полярна, циліндрична, сферична система координат.
Предмет дослідження: алгебраїчні та геометричні задачі: рівняння, системи рівнянь, нерівності та теореми.

Слайд 3

Вивчити особливості введення полярної, циліндричної, сферичної систем координат та їх зв'язок

Вивчити особливості введення полярної, циліндричної, сферичної систем координат та їх зв'язок з
з декартовою системою.
З’ясувати деякі аспекти використання криволінійних систем координат для оптимізації доведення відомих формул та теорем елементарної математики.
Встановити можливості використання криволінійних систем координат для розв’язування геометричних та алгебраїчних задач.

Постановка задач

Слайд 4

Структура роботи

Робота складається з трьох розділів – теоретичної частини та практичної.
В першому

Структура роботи Робота складається з трьох розділів – теоретичної частини та практичної.
розділі розглянуто способи встановлення зв’язку між геометричними образами і числами, тобто, метод координат. Він дозволяє конкретному геометричному образу поставити у відповідність його рівняння.
В другому та третьому розділах даної роботи досліджено застосування криволінійних координат для розв’язання деяких задач та доведення теорем методами, відмінних від традиційних.

Слайд 5

Системи координат
та координатний метод

Декартова система координат
Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz,

Системи координат та координатний метод Декартова система координат Три взаємно перпендикулярні осі
які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо систему координат на площині.

Слайд 6

Полярні координати

Зв’язок між полярними і декартовими координатами:

 

Відстань між точками у поярній системі

Полярні координати Зв’язок між полярними і декартовими координатами: Відстань між точками у
координат:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Слайд 7

Рівняння кривих у полярних координатах

Коло

Полярна роза

Спіраль Архімеда

7

 

 

Рівняння кривих у полярних координатах Коло Полярна роза Спіраль Архімеда 7

Слайд 8

Застосування полярної системи координат для розв’язання геометричних задач

Приклад (власний)

Кола радіусом R та

Застосування полярної системи координат для розв’язання геометричних задач Приклад (власний) Кола радіусом
2R ззовні дотикаються. Один із кінців відрізка, що утворює з лінією центрів кіл кут 300, співпадає з центром кола меншого радіуса. Знайти, яка частина відрізка лежить всередині більшого кола, якщо відрізок перетинає обидва кола.

декартовій системі:
Рівняння більшого кола в
полярній системі:
Використавши теорему Вієта:

А, отже, відстань між точками В і С дорівнює

.

Слайд 9

Теорема косинусів

Доведення теореми косинусів у шкільному підручнику:

Теорема косинусів Доведення теореми косинусів у шкільному підручнику:

Слайд 10

Теорема косинусів

Доведення у полярній системі координат:

 

 

Теорему доведено.

Теорема косинусів Доведення у полярній системі координат: Теорему доведено.

Слайд 11

Сферичні координати

 

 

Зв’язок між сферичними і декартовими координатами:

O

Сферичні координати Зв’язок між сферичними і декартовими координатами: O

Слайд 12

Застосування криволінійних координат для розв’язання задач

Розв’язати систему:

Задача(авторська)

 

Застосування криволінійних координат для розв’язання задач Розв’язати систему: Задача(авторська)

Слайд 13

 

 

 

 

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _

 

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

 

 

 

 

 

Застосуємо перехід до узагальненої сферичної системи координат:

Застосування сферичних координат

 

1

2

3

Слайд 14

Циліндричні координати

Зв’язок між циліндричними і декартовими координатами:

 

C

14

Циліндричні координати Зв’язок між циліндричними і декартовими координатами: C 14

Слайд 15

Застосуємо перехід до узагальненої циліндричної системи координат:

Застосування циліндричних координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

Застосуємо перехід до узагальненої циліндричної системи координат: Застосування циліндричних координат 1 2

Слайд 16

Висновки

З’ясовано основні області застосування криволінійних систем координат та їх зв'язок з

Висновки З’ясовано основні області застосування криволінійних систем координат та їх зв'язок з
декартовою системою;
Запропоновано метод розв’язування задач елементарної математики за допомогою переходу в криволінійну систему координат, а саме в полярну, циліндричну, сферичну;
Вказаний метод проілюстровано на конкретних прикладах, частину з яких сформульовано самостійно, в співпраці з науковим керівником.