Застосування криволінійних координат для розв'язування задач

Цілі та задачі
Мета роботи: вивчення застосування полярної, циліндричної, сферичної систем координат до розв’язування задач.
Об’єкт дослідження: полярна, циліндрична, сферична система координат.
Предмет дослідження: алгебраїчні та геометричні задачі: рівняння, системи рівнянь, нерівності та теореми.

Вивчити особливості введення полярної, циліндричної, сферичної систем координат та їх зв'язок з декартовою системою.
З’ясувати деякі аспекти використання криволінійних систем координат для оптимізації доведення відомих формул та теорем елементарної математики.
Встановити можливості використання криволінійних систем координат для розв’язування геометричних та алгебраїчних задач.
Постановка задач

Структура роботи
Робота складається з трьох розділів – теоретичної частини та практичної.
В першому розділі розглянуто способи встановлення зв’язку між геометричними образами і числами, тобто, метод координат. Він дозволяє конкретному геометричному образу поставити у відповідність його рівняння.
В другому та третьому розділах даної роботи досліджено застосування криволінійних координат для розв’язання деяких задач та доведення теорем методами, відмінних від традиційних.

Системи координат
та координатний метод
Декартова система координат
Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо систему координат на площині.

Полярні координати
Зв’язок між полярними і декартовими координатами:
Відстань між точками у поярній системі координат:
(1.1)
(1.2)
(1.3)

Рівняння кривих у полярних координатах
Коло
Полярна роза
Спіраль Архімеда
7

Застосування полярної системи координат для розв’язання геометричних задач
Приклад (власний)
Кола радіусом R та 2R ззовні дотикаються. Один із кінців відрізка, що утворює з лінією центрів кіл кут 300, співпадає з центром кола меншого радіуса. Знайти, яка частина відрізка лежить всередині більшого кола, якщо відрізок перетинає обидва кола.
декартовій системі:
Рівняння більшого кола в
полярній системі:
Використавши теорему Вієта:
А, отже, відстань між точками В і С дорівнює
.

Теорема косинусів
Доведення теореми косинусів у шкільному підручнику:

Теорема косинусів
Доведення у полярній системі координат:
Теорему доведено.

Сферичні координати
Зв’язок між сферичними і декартовими координатами:
O

Застосування криволінійних координат для розв’язання задач
Розв’язати систему:
Задача(авторська)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Застосуємо перехід до узагальненої сферичної системи координат:
Застосування сферичних координат
1
2
3

Циліндричні координати
Зв’язок між циліндричними і декартовими координатами:
C
14

Застосуємо перехід до узагальненої циліндричної системи координат:
Застосування циліндричних координат
1
2

Висновки
З’ясовано основні області застосування криволінійних систем координат та їх зв'язок з декартовою системою;
Запропоновано метод розв’язування задач елементарної математики за допомогою переходу в криволінійну систему координат, а саме в полярну, циліндричну, сферичну;
Вказаний метод проілюстровано на конкретних прикладах, частину з яких сформульовано самостійно, в співпраці з науковим керівником.