Презентация на тему Арифметическая прогрессия

Устная работа
1. В последовательности (хn):
9; 7; 5; 3; 1; - 1; -3; …
назовите первый, четвёртый, шестой и седьмой члены.

Устная работа
2. Последовательность (аn)
задана формулой аn = 2n - 3.
Найдите a1 а2 a5 а15 а50 аk.

Устная работа
3. Назовите пять первых членов последовательности (сn), если:
с1 = 4 Cn+1 = cn +3

Выявите закономерность и задайте последовательность рекуррентной формулой
1) 1, 3, 5, 7, 9, …
2) 2, 5, 8, 11, 14,…
3) 8, 4, 0, - 4, - 8, - 12, …
4) 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …
an = a n -1 +2
an = a n -1 + 3
an = a n -1 + (- 4)
an = a n -1 + 0,5
Изучение нового материала
an = an-1 + d

Определение арифметической прогрессии
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого числа d, называется арифметической прогрессией.
Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (an), заданная рекуррентно соотношениями:
a1 = a, an = an-1 + d
(n = 2,3,4,…)

Разность арифметической прогрессии
Число d, на которое отличается каждый последующий член арифметической прогрессии, начиная со второго, от предыдущего члена, называется разностью арифметической прогрессии.
d > 0 прогрессия возрастающая,
d < 0 прогрессия убывающая
d = an – an-1

Задание арифметической прогрессии формулой n – ого члена
Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d =(a1 + d) + d = a1+2d
a4 = a3 + d =(a1+2d) +d = a1+3d
a5 = a4 + d =(a1+3d) +d = a1+4d
. . .
an = a1+ (n-1)d
an = a1+ (n-1)d

Арифметическая прогрессия
1. Известно, что а1 = 1, d = 3.
Задайте эту прогрессию.
1; 4; 7; 11; 15; 19 ; …

Арифметическая прогрессия
.
Последовательность(аn) – арифметическая прогрессия, в которой а1 = 4; d = 2. Найдите 50-ый член этой прогрессии.
a50 = 4 + 49·2
a50 = 102

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an
Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1
Сложив эти два равенства, получим:
2Sn = (a1 + an) +( a2 + an-1 ) +( a3 + an-2 ) + … +( an-2 + a3 ) + + (an-1 + a2 ) +( an + a1).
В правой части равенства n пар слагаемых, каждая пара равна a1 + an. Значит, 2Sn = n(a1 + an);
S =

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
Иногда полезна видоизменённая формула суммы n членов арифметической прогрессии. Если в формуле для Sn учесть, что an =a1 + d(n-1), то получим:

Арифметическая прогрессия
Задача
Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м

Решение задачи
За первый день альпинисты
поднялись на 1400 м, за второй 1300 м и.т.д.. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия, у которой
a1 =1400 , d = - 100, Sn = 5000
Подставив данные в формулу найдём n – количество дней

Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Пусть дана арифметическая прогрессия
a1, a2, a3,…, an, … .
Рассмотрим три её члена, следующие друг за другом: an-1, an, an+1.
Известно, что
an – d = an-1,
an + d = an+1.
Сложив эти равенства, получим:
Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Задачи из вариантов ГИА
1) В арифметической прогрессии a1 = 3, d = - 1,5. Найдите наименьшее значение n, для которого выполняется неравенство an > - 6.
2) Укажите количество положительных членов арифметической прогрессии 84,1; 78,3; … .
3) Арифметическая прогрессия задана формулой n- го члена an = 4n + 1. Найти сумму членов арифметической прогрессии с двадцать пятого по пятидесятый включительно.

Итог урока
Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.
Что такое разность прогрессии, как ее вычислить?
Каким свойством обладает арифметическая прогрессия?