Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств

Метод мажорант
На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется.
Некоторые математики называют этот метод
по-другому:
«метод математической оценки»,
«метод mini-max».
Это очень красивый метод, и ему непременно следует научиться

Определение
Метод мажорант или метод оценки
используется (чаще всего) в уравнениях вида
f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции,
и на области определения данного уравнения наибольшее значение М одной из них
равно наименьшему значению М другой.
Мажорантой (от magiorante – главенствующий)
данной функции f (х) на множестве D( f )
называется такое число М, что
либо f(х) ≤ М для всех х ϵ D( f ),
либо f(х) ≥ М для всех х ϵ D( f ).

Как начинать решать такие задачи?
Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М, из области
определения (уравнения или неравенства), что f(x) ≤ M и f(x) ≥ M.
Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график.

Решение. Оценим обе части уравнения.
При всех значениях х
верны неравенства:
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Полученная система не имеет решений, так как х = 0
не удовлетворяет второму уравнению.
Графическая иллюстрация

Пример 2. Решить уравнение
Решение: Оценим обе части уравнения.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит,
х = 0 корень уравнения.
Ответ: х = 0.
Графическая иллюстрация

Пример 3. Решить неравенство
тогда неравенство примет вид
неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
Ответ: - 1.
Решение.
Графическая иллюстрация

Пример 4. Решить уравнение
Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно
обратных чисел) выполнено
Поэтому уравнение имеет решения, если одновременно выполнены два условия
принимает значение от 0,5 до 2.
Решение. Оценим обе части уравнения.
Графическая иллюстрация

Пример 5. Решить уравнение
Поскольку - 1 ≤ sinx ≤ 1 и - 1 ≤ sin 9x ≤ 1, то
равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
Решением первого уравнения системы являются значения
Решение. Оценим обе части уравнения.

Пример 6. Решить уравнение
Решение. Очевидно, что
почленно эти неравенства, получаем:
Следовательно, левая часть равна правой, лишь при условии:
Значит, данное уравнение равносильно системе уравнений:
Решая
систему
уравнений, получаем:
.
Заметим, что перемножив

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни:
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Для решения уравнения
оценим его части:
Равенство возможно только при условии
Сначала решим второе уравнение:
Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0.
Ответ: 0.
При х = -1 имеем: