Разложение на множители

Что называют разложением многочлена на множители?
a2 – 5ab =
a2 – 25 =
a2 – 36 =
Разложите на множители
а(а – 5b)
(a – 5) (а + 5)
(a – 6) (а + 6)

8 – a3 =
x3 + 64 =
a3 – 25а =
а(а + 4b)
a2 + 4ab =
(2 – a)(4 + 2а + a2
(х + 4)(х2 – 4х + 16)
а(а – 5)(а + 5)
Разложите на множители

Способы разложения на множители
Вынесение общего множителя
за скобки
Способ
группировки
С помощью формул сокращенного умножения
Последовательно несколько способов

Решите уравнения
(х – 2)(х + 2) = 0
Х= 2 и х = - 2
Ответ: - 2; 2

х2 – 16 = 0
(х – 4)(х + 4) = 0
х = 4 и х = - 4
Ответ: - 4; 4

х2 + 10х + 25 =0
(х + 5)2 = 0
х = - 5
Ответ: - 5

9х – х3 = 0
х(9-х2) = 0
х(3 – х)(3 + х) = 0
х = 0 или 3 – х = 0 или 3 + х = 0
х = 0 или х = 3 или х = - 3

Разложение на множители позволило нам сократить дробь.
Найдите значение числового выражения
532-472
612-392
Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов:
532-472
612-392
(53-47)(53+47)
(61-39)(61+39)
=
6•100
22•100
=
=
6
22
=
3
11

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов
1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем
Вынесение общего множителя за скобки

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший
(из имеющихся) показатель степени.
3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который выносят за скобки.

Разложить на множители:
-x4y3-2x3y2+5x2.
Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.
Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.

Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
Вывод:
за скобки можно вынести x2, в данном случае целесообразнее вынести -x2.
-x4y3-2x3y2+5x2 =
-x2(x2y3+2xy2-5)
Получим:

Способ группировки
Рассмотрим пример:
разложите на множители многочлен
х3+х2у– 4у – 4х =
(х2+х2у) – (4х+4у) =
= х2 (х + у) – 4(х + у) =
х + у)(х2 – 4) =
(х + у)(х2 – 4) =
(х + у)(х – 2)(х + 2)

bx2 + 2b2 – b3 – 2x2 =
(bx2 – b3) – (2x2–2b2)=
= b(x2 – b2) –2(x2 – b2) =
(b – 2)(x2 – b2) =
(b – 2)(x – b)(x + b)
Способ группировки

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения
Вспомните эти формулы:
a2-b2=(a-b)(a+b);
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; Последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.
a2-b2=(a-b)(a+b);
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.

Воспользовались формулой суммы кубов.
а6 + 27b3 =
(a2)3 + (3b)3 =
= (a2 + 3b)(a4 – 3a2b + 9b2)

Х 2
4
0,8ху + 0,16у 2
Х 2
2
=
2 · 1
2
х · 0,4у + (0,4у)2
=
Х
2
0,4у
2
=
Воспользовались формулой квадрата разности.

Воспользовались формулой разности квадратов.
х6 – 4а4 =
= (х3)2 – (2а2)2 = (х3 – 2а2) (х3 + 2а2)

Разложение многочлена
на множители с помощью комбинации различных приемов
В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.
1. Разложить на множители многочлен
36a6b3-96a4b4+64a2b5

Итак, за скобки вынесем 4a2b3.
Тогда получим:
36a6b3-96a4b4+64a2b5 =
4a2b3(9a4-24a2b+16b2)
2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9a4-24a2b+16b2=(3a2)2+(4b)2-2·3a2·4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a4-24a2b+16b2=
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
(3a2-4b)2.
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.

2. Разложить на множители
x4+x2a2+a4
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x2a2 в виде 2x2a2-x2a2. Получим:
(x2+a2)2-(xa)2=
x4+x2a2+a4 =
x4+2x2a2-x2a2+a4=
= (x4+2x2a2+a4)-x2a2 =
= (x2+a2+xa) · (х2 + а2 – ха)

3. Разложить на множители
n3+3n2+2n
Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2).
Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:

Окончательно получаем:
n2+3n+2=
n2+2n+n+2 =
= (n2+2n)+(n+2) =
n(n+2)+(n+2) =
= (n+2)(n+1).
n(n+1)(n+2).
n2+3n+2=

Ответы

До новых встреч!