Законы и правила математической логики

Устимкина Л.И.
Основные законы алгебры логики

Устимкина Л.И.
Основные законы алгебры логики

Устимкина Л.И.
МОРГАН Огастес де
(Morgan Augustus de)
Морган Огастес (Августус) де (27.6.1806-18.3. 1871)-шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.), член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. Основные труды по алгебре, математическому анализу и математической логике. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. В книге "Тригонометрия и двойная алгебра" (1849г.) развил мысль У. Гамильтона о распространении идей символической алгебры на исчисление комплексных величин. Благодаря этому комплексные величины были строго обоснованы не только геометрически, но и алгебраически. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана.

Устимкина Л.И.
Задание 1. Упростить выражение:
_
X ∙ Y V X ∙ Y
Воспользуемся распределительным законом:
Х ∙ ( Y V Z ) = X ∙ Y V X ∙ Z
(или вынесем общий множитель за скобку)
1
X ∙ Y V X ∙ Y =
_
X ∙(Y V Y ) =
= Х ∙ 1 = Х

Устимкина Л.И.
Задание 2. Упростите логическое выражение
_______________
_____
F= (A v B)→ (B v C).
Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (¬(A→B)=A& ¬ B). Получится: ¬((AvB)→ ¬(BvC))= (AvB)& ¬ (¬(BvC)).
Применим закон двойного отрицания, получим:
(A v В) & ¬(¬(В v С)) = (A v В) & (B v С).
Применим правило дистрибутивности ((A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C)). Получим: (AvВ)& (B v С)= (AvB)&Bv(AvB)&C
Применим закон коммутативности (A&B=B&A ) и дистрибутивности (16). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.
Применим (А& A= A) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C= A&BvBvA&CvB&C
Применим ((A&B) v(A&C) = A&(BvC) ), т.е. вынесем за скобки В.
Получим:A&BvBvA&CvB&C= B& (Av1)vA&CvB&C.
Применим (Аv 1= 1 ). Получим:B& (Av1) vA&CvB&C= BvA&CvB&C.
Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:BvA&CvB&C = B& (1vC)vA&C.
Применим (Аv 1= 1 ) и получим ответ: B&(1vC)vA&C=BvA&C.

Устимкина Л.И.
IV. Закрепление изученного
№1
Упростите выражение:
F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC).
F = (A→B) v (B→A).
F = A&CvĀ&C.
F =AvBvCvAvBvC
Ответы:
F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC) =AvB.
F= (A→B) v (B→A) = 1.
F = A&CvĀ&C=C.
F =AvBvCvAvBvC=1.

Устимкина Л.И.
№2
Упростите выражение:
F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)).
F = X&¬ (YvX).
F = (XvZ) & (XvZ) & (YvZ).
Ответы:
F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)) = 0.
F = X&¬ (YvX) = X&Y.
F = (XvZ) & (XvZ) & (YvZ) =X&(YvZ).