Производная

x0
Δx
f(x0)
x
f(x)
Δf
y=f(x)
Δx = x - x0
x = x0 + Δx
приращение аргумента
Δf = f(x) – f(x0)
f(x) = f(x0) + Δf
приращение функции
Δf f(x0 + Δx) – f(x0)
— = ———————
Δx Δx
разностное отношение
А
В

f(x0)
f(x)
Δx
Δf
l
l – секущая
α - угол наклона
Δf
— = tg α
Δx
= k – угловой коэффициент прямой
y= kx+b

x
Если тело движется по прямой и за время Δt его координата изменяется на Δx, то
Δt t(x0 + Δx) – t(x0)
Vср(Δt) = — = ———————
Δx Δx
- средняя скорость движения тела за Δt

При Δx → 0
x → x0, B → A ,
секущая → касательная,
kсек → k кас
Δf
— → tg α
Δx
Δt
Vср(Δt) = —
Δx
При Δx → 0 Vср(Δt) → Vмгн(Δt)

Производная
Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δx → 0.
Δf f(x0 + Δx) – f(x0)
f´(x0)= — = ———————
Δx Δx
при Δx → 0.

Правила вычисления производных
Если функции U и V дифференцируемы в точке x0, то
Если функция U дифференцируема в точке x0, а С-постоянная, то (СU)´=CU´

Формулы для вычисления производных