Слайд 3
Из истории;
Понятие о производной;
Правила вычисления производной: -Основные правила дифференцирования, -Производная степенной
![Из истории; Понятие о производной; Правила вычисления производной: -Основные правила дифференцирования, -Производная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-2.jpg)
функции.
Производная сложной функции: -Сложная функция, -Производная триногометрических функций;
Применение.
Слайд 4Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи,
![Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-3.jpg)
рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др
Слайд 5Понятие о производной
Производной функции f в точке x0 называется число, к которому
![Понятие о производной Производной функции f в точке x0 называется число, к](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-4.jpg)
стремится разностное отношение
∆f/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx
при ΔX, стремящемся к нулю.
Слайд 6Основные правила дифференцирования
Правило №1. Если функции u и v дифференцируемыв точке x0,то
![Основные правила дифференцирования Правило №1. Если функции u и v дифференцируемыв точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-5.jpg)
их сумма дифференцируема в этой точке (u+v)'= u'+v'.
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.
Слайд 7Лемма. Если функция f дифференцируема в точке x0,то она непрерывна в этой
![Лемма. Если функция f дифференцируема в точке x0,то она непрерывна в этой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-6.jpg)
точке: ∆f→0 при ∆x→0, т.е.
f(x0+∆x )→(x0) при ∆x→0.
Слайд 8Правило №2. Если функции u и v дифференцируема в точке x0,то произведение
![Правило №2. Если функции u и v дифференцируема в точке x0,то произведение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-7.jpg)
дифференцируемо в этой точке и (uv)'=u'v+uv'.
Слайд 9Следствие.Если функция u дифференцируема в точке x0,а С-постоянная, то функция Cu дифференцируема
![Следствие.Если функция u дифференцируема в точке x0,а С-постоянная, то функция Cu дифференцируема](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-8.jpg)
в этой точке и (Cu)'=Cu'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак проязводной.
Слайд 10Правило №3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0 и
![Правило №3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0 и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-9.jpg)
функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x0 и
(u/v)'=u'v-uv'/v².
Слайд 11Производная степенной функции:
Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)
![Производная степенной функции: Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1) (xⁿ)'=nxⁿ־¹.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-10.jpg)
(xⁿ)'=nxⁿ־¹.
Слайд 12Целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей
![Целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-11.jpg)
области определения.
Слайд 13Производная сложной функции:
Если функция f имеет производную в точке x0,а функция
![Производная сложной функции: Если функция f имеет производную в точке x0,а функция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-12.jpg)
g имеет производную в точке y0=f(x0), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке x0 причём h'(x0)=g'(f(x0))·f '(x0).
Слайд 14Производные триногометрических функций:
Фориула производной синуса: Функция синус имеет производную в любой точке
![Производные триногометрических функций: Фориула производной синуса: Функция синус имеет производную в любой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-13.jpg)
и (sin x)'=cos x.
Слайд 15Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса: функции y=cos x, y=tg x, y=ctg
![Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса: функции y=cos x, y=tg x, y=ctg](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-14.jpg)
x имеют производные вкаждой точке своей области определения,
и справедливы формулы:
(cos x)'=-sin x,
(tg x)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.
Слайд 16(sin x)'=cos x
(cos x)'=-sin x,
(tgx)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.
![(sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x, (tgx)'=1/cos² x, (ctg x)'=-1/sin²x.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-15.jpg)
Слайд 17 Производные широко применимы в настоящее время, например, в экономическом анализе. Они
![Производные широко применимы в настоящее время, например, в экономическом анализе. Они помогают](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-16.jpg)
помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен
Слайд 18Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций.
![Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/304521/slide-17.jpg)
Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, ее наибольшие и наименьшие значения.