Комплексные числа

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Понятие комплексного числа
Х+А=В - недостаточно положительных
чисел
А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
числа
Х+5=2

Решение квадратных уравнений
А · Х²+ В ·Х+ С =0
При D<0 действительных корней нет

Комплексные числа

Вид комплексного числа
Х²=-1
Х=i -корень уравнения
i- комплексное число, такое , что
i²=-1
А + В· i
ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числа
i- некоторый символ , такой, что i²= -1
А – действительная часть
В – мнимая часть
i – мнимая единица
А + В· i

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Модуль комплексного числа
Z=А - В· i
СОПРЯЖЕННОЕ
Z= А + В· i
(Z) = Z
Комплексно сопряженные числа.
Z = A + B i=

Тригонометрическая форма комплексного числа
Z =r
φ- аргумент аргумент комплексного числа
Z=r cos φ + i Z sin φ =
= r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z =r =
Z= А + В· i= cosφ+i sinφ

Сложение и умножение комплексных чисел
Алгебраическая форма
Геометрическая форма
Сумма
(A+iB) + (C+iD)=
(A+C)+(B+D)I
Произведение
Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]
Произведение
(A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=
r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
Формула Муавра
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*)
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.
Z= r (cos φ+ i sin φ)
ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)
Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.
Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Пример:
Решить уравнение:

Свойства сложения и умножения
Переместительное свойство:
Сочетательное свойство:
Распределительные свойство:
Z1 + Z2 = Z1 +Z2
Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)
(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел
Z+ Z2 = Z1
Вычитание – операция, обратная сложению:
Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )
Z= Z1 - Z2 –разность
Деление – операция, обратная умножению:
Z · Z2 = Z1
Разделив обе части на Z2 получим:

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры:
Найти разность и частное комплексных чисел
Решение: