Комплексные числа

Содержание

Слайд 2

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа.

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Комплексные числа. Геометрическая

интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.
Слайд 3

Понятие комплексного числа Х+А=В - недостаточно положительных чисел А·Х + В=0 (А≠0)

Понятие комплексного числа

Х+А=В - недостаточно положительных
чисел
А·Х + В=0 (А≠0)

– разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
числа

Х+5=2

Слайд 4

Слайд 5

Решение квадратных уравнений А · Х²+ В ·Х+ С =0 При D

Решение квадратных уравнений
А · Х²+ В ·Х+ С =0
При D<0 действительных

корней нет
Слайд 6

Комплексные числа

Комплексные числа

Слайд 7

Вид комплексного числа Х²=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, такое ,

Вид комплексного числа

Х²=-1
Х=i -корень уравнения
i- комплексное число, такое , что
i²=-1

А +

В· i

ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

Слайд 8

А и В – действительные числа i- некоторый символ , такой, что

А и В – действительные числа
i- некоторый символ , такой, что

i²= -1
А – действительная часть
В – мнимая часть
i – мнимая единица

А + В· i

Слайд 9

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Слайд 10

Модуль комплексного числа Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В·

Модуль комплексного числа

Z=А - В· i

СОПРЯЖЕННОЕ

Z= А + В· i

(Z) =

Z

Комплексно сопряженные числа.

Z = A + B i=

Слайд 11

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ- аргумент аргумент комплексного числа Z=r

Тригонометрическая форма комплексного числа


Z =r
φ- аргумент аргумент комплексного числа
Z=r cos

φ + i Z sin φ =
= r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не определяется
Слайд 12

Т.к Z =r = Z= А + В· i= cosφ+i sinφ


Т.к Z =r =

Z= А + В· i= cosφ+i sinφ


Слайд 13

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) +

Сложение и умножение комплексных чисел

Алгебраическая форма

Геометрическая форма

Сумма
(A+iB) + (C+iD)=
(A+C)+(B+D)I

Произведение
Z1=

r1 (cos φ1+ i sin φ1)
Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]

Произведение
(A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i

Слайд 14

Если Z 1= Z2, то получим Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=

Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=

r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Слайд 15

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если


Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается

), если (*)
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.

Z= r (cos φ+ i sin φ)

ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)

Вторая формула Муавра

Слайд 16

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Каждое алгебраическое

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

Каждое алгебраическое

уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Слайд 17

Пример: Решить уравнение:

Пример:

Решить уравнение:

Слайд 18

Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Z1 +

Свойства сложения и умножения

Переместительное свойство:
Сочетательное свойство:
Распределительные свойство:

Z1 + Z2 = Z1

+Z2

Z1 · Z2 = Z1 ·Z2

Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)

(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Слайд 19

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Слайд 20

Вычитание и деление комплексных чисел Z+ Z2 = Z1 Вычитание – операция,

Вычитание и деление комплексных чисел

Z+ Z2 = Z1

Вычитание – операция,

обратная сложению:

Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )

Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:

Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Слайд 21

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Слайд 22

Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел Решение:

Примеры:

Найти разность и частное комплексных чисел

Решение: