Решение задач с помощью систем уравнений 2 степени

№ 268. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.
Пусть 1 число – х, а 2 число – у, известно, что их сумма х+у=12, а произведение х·у=35.
Решение: составим систему уравнений:
х+у=12; х=12-у(выразим х через у)
х·у=35; (12-у)у=35 (подставим во 2 уравнение вместо х выражение (12-у)) (1)
12у-у2=35
-у2+12у-35=0 |(-1)
у2-12у+35=0 Д=144-140=4=22
у1=7, у2=5.
х1=5, х2=7 Ответ: 5 и 7.

№ 270. Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
х
у
10
Что нам неизвестно?
Как обозначим эти неизвестные величины?
Как найти периметр нашего прямоугольника?
Составьте 1 уравнение системы.
2(х+у)=28
Как нам связать стороны с диагональю?
По теореме Пифагора получаем х2+у2=102 это второе уравнение системы.
х+у=14
Х2+у2=100

х=14-у х1=6
(14-у)2 + у2=100 (1) у1=8
х2=8
у2=6
196 -28у + у2 + у2 - 100 = 0
2у2 - 28у + 96 = 0
у2 – 14у + 48 = 0 Д1 = 49 – 48=1
у1=8; у2=6.
Ответ: 6 и 8 см.

х
х
у
у
S=х2
S=у2
S=ху
№276. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 30 см2.
2(х2 + у2) =122 х2 + у2 = 61
ху = 30 х = 30/ у
(30/ у)2 + у2 – 61 = 0
у4 – 61у2 + 900 = 0
Замена у2 = а, а>0.
а2 - 61а + 900 = 0, Д =612-4·900=3721-3600=121
а1= 36, а2=25.
Обратная замена: у2=6, у=6, у2=25, у=5
х=5 х=6
Ответ: 5 и 6 см.

Самостоятельная работа
1 вариант
Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого
2 вариант
Сумма двух чисел равна 25,
а их произведение равно
144. Найдите эти числа.
Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна 20.
Найдите его катеты, если
известно, что один из них на
4 см меньше другого
а
в
с
а2+в2=с2