Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лермонтовская средняя общеобразовательная школа»

Содержание
Введение
Определение и свойства инвертных точек.
Метод инверсии.
3.1. Инверсия относительно оси ОХ.
3.2. Построение графиков y=1/f(x).
3.3. Построение графиков y= в
зависимости от коэффициентов a, b, c.
4. 4.1. Инверсия относительно оси ОУ
4.2. Построение графиков у = f(1/x)
5. Применение инверсии в решении уравнений с
параметром графическим способом.
6. Список литературы.

1.Введение
у =
у =
у =

Инверсия - изменение нормального положения компонентов, расположение их в обратном порядке. (Толковый словарь С.И. Ожегова).
Инверсия (от лат. Inversion – переворачивание, перестановка) – термин, относящийся к перестановкам в математике.

Цель работы:
Изучить метод инверсии и его применение при построении графиков функций и графическом решении уравнений с параметром.

Задачи:
Знакомство с методом инверсии.
Рассмотрение инверсии относительно прямой, осей координат.
Изучение свойств инверсии.
Практическое применение инверсии при построении графиков и решении уравнений.

Достоинства способа:
он помогает приобрести навык построения графиков функций;
он помогает усвоению таких важных свойств функций как монотонность, экстремум, знакопостоянство, четность;
график функции ─ ее «портрет», поэтому данный способ помогает лучше увидеть свойства функции и решать уравнения с параметрами.

2. Определение и свойства инвертных точек.
Точка В называется инвертной точке А относительно прямой (оси) е, если:
1) эти точки лежат по одну сторону относительно е;
2) отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси е;
3) произведение расстояний от этих точек до е равно 1 (ОА∙ОВ = 1)
4) для точек оси е инвертных нет.

Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой, называется инверсией . Для точек этой прямой преобразование не определяется.

3. Метод инверсии.
3.1. Инверсия относительно оси ОХ.
Рассмотрим инверсию относительно оси ОХ.

(х ; у) (х ; ).
График функции g(x)= получается из графика функции y=f(x) инверсией относительно оси ОХ.

Свойства инверсии относительно оси Ох
1. Если f(x)>0, то >0.
Если f(x) <0, то <0.
2. Если y=f(x) имеет корни х= х1…., т.е. f(x)=0, то g(x)= имеет вертикальные асимптоты х=х1 ….
3.Если у графика функции y=f(x) есть горизонтальная асимптота у=0,то имеет асимптоту у=0.
Если у графика функции y=f(x) есть горизонтальная асимптота при , то график функции g(x)= будет иметь горизонтальную
асимптоту .

4.Если f( -x)= f(x), то g(- x)= = = g(x)
Если f( -x)= - f(x), то g(- x)= = = -g(x).
5.Если f(x) – периодическая функция, то - периодическая функция.
6. Если f(x) сохраняет знак на множестве X и возрастает на нем, то убывает на этом множестве.
Если f(x) сохраняет знак на множестве X и убывает на нем, то возрастает на этом множестве.

7.Наибольшее значение функции изменяется и становится наименьшим, и наоборот. Максимум становится минимумом, и наоборот
8. Если при x → ∞ f(x) → 0, то в графике инверсии → ∞.
Если при x → ∞ f(x) → ∞, то в графике инверсии → 0.

3.2. Построение графиков y=1/f(x).
Алгоритм построения:
1.Строим график функции y=f(x).
2.Через точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ проводим вертикальные асимптоты или вынуть из области определения нули функции.
3.Строим вспомогательные прямые у=1, у=-1.
4.Промежутки знакопостоянства сохраняем.
5.Сохраняем четность функции (симметрия графика)
6.Сохраняем периодичность функции.
7.Меняем промежутки возрастания (убывания) на промежутки убывания (возрастания).

у =

Построение графиков y=1/(ax2+bx+c)
в зависимости от коэффициентов a, b, c.

4.1.Инверсия относительно оси ОУ

(х ; у) (
График функции g(x)=f( ) получается из графика функции y=f(x) инверсией относительно оси ОУ.
(х ; у) (
, у)
→

y
Пример 1. Построить график функции
График этой функции получается из графика функции f(x) = инверсией относительно оси ОУ.

5. Применение инверсии в решении уравнений
с параметром графическим способом.
Рассмотренная тема находит свое применение в решении уравнений
с параметрами графическим методом.
Он состоит в построении кривой, определяемой уравнением с параметром:
(а - 1)х² - 4(а - 1)х + 3а – 4 = 0
Проведем преобразования.
5. Применение инверсии в решении уравнений
с параметром графическим способом.
Рассмотренная тема находит свое применение в решении уравнений
с параметрами графическим методом.
Он состоит в построении кривой, определяемой уравнением с параметром:
(а - 1)х² - 4(а - 1)х + 3а – 4 = 0
Проведем преобразования.
После преобразования получаем:

С помощью графика установить:
а) при каких значениях параметра а уравнение не имеет решения;
б) при каких значениях параметра а уравнение имеет решения разных знаков;
в) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень из отрезка [-1;2];
г) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень больше 6.
С помощью графика установить:
а) при каких значениях параметра а уравнение не имеет решения;
б) при каких значениях параметра а уравнение имеет решения разных знаков;
в) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень из отрезка [-1;2];
г) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень больше 6.

Список используемой литературы
А.П. Карп «Даю уроки математики» (М., «Просвещение», 1992)
Н.Я. Виленкин «Алгебра 9» (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). (М., «Просвещение», 1996)
http://ru.wikipedia.org/wiki/Инверсия