Исследование математических моделей

Слайд 2

Пусть задана функция f(x). Требуется найти корни уравнения f (x)=0 (1) Задача

Пусть задана функция f(x). Требуется найти корни уравнения
f (x)=0 (1)
Задача

нахождения корней уравнения (1) обычно решается в два этапа.
На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, то есть выделяются области, содержащие только один корень.
На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс для уточнений корня.
Слайд 3

X Определение корней Определение корней можно осуществить графическим или аналитическим способом. Для

X

Определение корней
Определение корней можно осуществить графическим или аналитическим способом.
Для того,

чтобы отделить корни графически, нужно построить график функции y=f(x).

X

0

a

b

f(a)

f(b)

X*

y = f(x)

Слайд 4

Для определения корней аналитически используем следующее утверждение: если функция f(x) принимает значения

Для определения корней аналитически используем следующее утверждение:
если функция f(x) принимает

значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т.е.
f(a) f(b)<0,
то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0 .
Слайд 5

a a ξ b 0 X Y y=f(x) f(a) f(b) 0 Y

a

a

ξ

b

0

X

Y

y=f(x)

f(a)

f(b)

0

Y

X

b

a

ξ

ξ1

f(a)

f(b)

y=f(x)

ξ2

Слайд 6

Метод половинного деления Предположим что в интервале [a, b] расположен один корень

Метод половинного деления
Предположим что в интервале [a, b] расположен один

корень уравнения (1).
Найдем точку c= (b+a) /2. Это x0. Далее,
если f( c)* f( a) >0, то b = c,
если f( c)* f( b) >0, то a = c. Аналогично находим следующие приближения xn (n=1,2,…)
Если выполняется одно из условий :
| f(xn+1) | ≤ ε или | xn-xn+1 | ≤ ε,
где ε - заданная точность вычислений,
то корень уравнения f(x)=0 найден ξ=x*= xn+1 и процесс вычисления заканчивается.