Логика высказываний

Легко ли быть рыцарем? Нет, не средневековым воином в доспехах, а всего лишь абсолютно честным жителем острова рыцарей и лжецов. Кто думает, что легко, пусть попробует честно ответить на такие вопросы:
1. Какого цвета небо?
2. Ты сильный?
3. Верно ли, что любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы
двух простых чисел?

Чтобы избежать недоразумений, мы будем ставить вопрос об истинности только
таких утверждений, про которые можно ясно сказать, истинны они или ложны. Такие
утверждения в логике называются высказываниями (записываем определение).
Опр. Высказываниями в логике называются такие утверждения, про которые можно ясно и однозначно сказать, истинны они или ложны.

Задача 1.1. Являются ли высказываниями следующие предложения?
1. Семеро одного не ждут.
2. У кошки четыре ноги.
3. 1 января 2001 года был вторник.
4. Любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
5. Это утверждение истинно.
При обсуждении задачи 1.1 интересно сравнить для случаев 3, 4 и 5 степень незнания:
«я пока не знаю, но могу узнать»,
«никто пока не знает и неизвестно, узнает ли
когда-либо» и «принципиально нельзя однозначно ответить на вопрос».

Сценка (разыгрывают желающие).
Представим, что путешественник, находясь на острове рыцарей и лжецов, захотел искупаться. По дороге он встретил двух местных жителей, Боба и Доба, и спросил, на каком расстоянии в этом направлении находится пляж.
– Два километра, – хмуро буркнул Боб.
– Всего лишь 200 метров, – с любезной улыбкой возразил ему Доб.
Путешественник обрадовался, поскольку знал, что Боб лжец. «А раз Доб возразил лжецу, – подумал путешественник, – то он рыцарь». Какого же было удивление путешественника, когда ни через 200 метров, ни через 2 километра пляжа не оказалось! А через 5 километров он дошел до скалистого берега с табличкой «Купаться запрещено!» И Боб, и Доб оказались лжецами.

Впрочем, если бы путешественник получше разбирался в логике, он бы не удивлялся.
Давайте разберемся являются ли высказывания «Пляж находится в 200 метрах отсюда» и «Пляж находится в двух километрах отсюда» для этой задачи противоположными?
А могли бы они при других условиях одновременно оказаться истинными?
А может ли рыцарь так возразить лжецу, чтобы не было никаких сомнений в его правдивости?

Подведем итог:
К каждому высказыванию существует противоположное.
Высказывание, противоположное данному, называют его отрицанием.
Всегда истинно либо само высказывание, либо его отрицание (но не то и другое одновременно) – это закон исключенного третьего, который часто произносят в виде афоризма «третьего не дано».

Задача 1.2. Являются ли противоположными высказывания:
1) «Вчера светило солнце» и «Вчера шел дождь»;
2) «Я умею прыгать через лужи» и «Я не умею прыгать через лужи»?
Задача 1.3. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:
1) Я встретил Вас.
2) Трудно быть богом.

Задача 1.4*. Британские ученые нашли древнюю рукопись, содержащую всего два утверждения:
1) Оба утверждения этой рукописи ложны.
2) Земля имеет форму чемодана.
Какой вывод можно сделать из этой рукописи?

Задачи 1.5–1.8 – простые упражнения на закрепление пройденного.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.5. Объясните, почему данные предложения не являются высказываниями. Можете ли вы сконструировать аналогичные по смыслу высказывания? Как вы думаете, истинны ли они?
Семь раз отмерь, один раз отрежь.
Что нам стоит дом построить: нарисуем – будем жить.
Шел дождь.
Задача 1.6. Придумайте несколько высказываний и несколько предложений, не являющихся высказываниями.

Задачи 1.5–1.8 – простые упражнения на закрепление пройденного.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.7. Являются ли противоположными высказывания:
1) «Нельзя пользоваться калькулятором на уроках математики» и «На уроках математики можно пользоваться калькулятором»;
2) «Андрей выше Мити» и «Митя выше Андрея»?
Задача 1.8. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:
1) Завтра дальняя дорога выпадает королю.
2) У него деньжонок много.
3) А я денежки люблю.

Задачи для самостоятельного решения
Эта задача связана с законом двойного отрицания.
Более легкий вариант – начать, например, с ответа на вопрос, истинно ли высказывание «Неверно, что неверно, что сегодня пятница»?
Задача 1.9. 1) Директор школы категорически возражает против отмены контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?
2) Директор школы категорически возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

Задачи для самостоятельного решения (повышенный уровень сложности)
Задача 1.10*. Житель острова Крит говорит: «Все критяне лжецы». Истинно или ложно это высказывание?
(В этой задаче Крит считается островом рыцарей и лжецов).

Задачи для самостоятельного решения (повышенный уровень сложности)
Задача 1.11. К каждому из высказываний сформулируйте отрицание. Определите, что верно: утверждение или его отрицание.
1) Сумма двух двузначных чисел – двузначное число.
2) Сумма двух четных чисел – четное число.
3) Прямоугольник размером 20 х 15 можно разрезать на прямоугольники размером 3x5.
4) Квадрат размером 2015 х 2015 можно разрезать на прямоугольники размером 20 х 15.

Задачи для самостоятельного решения (повышенный уровень сложности)
Задача 1.11 (продолжение). К каждому из высказываний сформулируйте отрицание. Определите, что верно: утверждение или его отрицание.
5) В нашей школе найдутся два ученика, имеющие одинаковое число друзей среди учеников нашей школы.
6)* Через отверстие, прорезанное в листке из школьной тетради, человек пролезть не может.