Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом

Геометрия
Планиметрия
Стереометрия
stereos
телесный, твердый, объемный, пространственный

Стереометрия.
Раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур
в пространстве.
Основные фигуры в пространстве:
А
Точка.
а
Прямая.
Плоскость.

A, B, C, …
a, b, c, …
или
AВ, BС, CD, …

Геометрические тела:
Куб.
Параллелепипед.
Тетраэдр.

Геометрические понятия.
Плоскость – грань
Прямая – ребро
Точка – вершина
вершина
грань
ребро

Аксиома
(от греч. axíõma – принятие положения)
исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

АКСИОМЫ
планиметрия
стереометрия
1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Характеризуют взаимное расположение точек и прямых
Основное понятие геометрии «лежать между»
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиомы стереометрии описывают:
А1.
А2.
А3.
А
В
С
β
Способ задания плоскости.
β
А
В
Взаимное расположение прямой и плоскости
α
β
Взаимное расположение плоскостей

Способы задания плоскости
1. Плоскость можно провести через три точки.
2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку.
Аксиома 1
Теорема 1
Теорема 2
3. Можно провести через две пересекающиеся прямые.
А1

Взаимное расположение прямой и плоскости.
Прямая лежит в плоскости.
Прямая пересекает плоскость.
Прямая не пересекает плоскость.
Множество общих точек.
Единственная общая точка.
Нет общих точек.
γ
а
γ
а
М
γ
а
а ⊂ γ
а ∩ γ = М
а ⊄ γ
А2

Следствия из аксиом стереометрии.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Прочти чертеж
A
С

Прочти чертеж
B
c
b
a

Прочти чертеж

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости АВС;
б) плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ;
в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB.

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
DEF и SBC; плоскости FDE и SAC ;
в) две плоскости, которые пересекает прямая SB; прямая AC .

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
а)
В1С
?

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
а)
В1С
?

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
C1
C

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
б)

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1 ; с прямой BC1

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
в)

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1 ; с прямой BC1