Сумма n первых членов геометрической прогрессии (9 класс)

Цели:
1. Расширить и углубить знания о прогрессиях;
2. Организация деятельности учащихся по изучению нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии;
3. Способствовать развитию наблюдательности;
4. Побуждать учащихся к преодолению трудностей;
5. Воспитывать познавательную активность, ответственность.

а) Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
б) Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
в) Как задается геометрическая прогрессия?
г) Сформулируйте формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Вспомним

Среди последовательностей распознать арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию, а также вставить пропущенное число:

Договор.
Я обязуюсь ежедневно в течении 30 дней приносить вам по 100000 рублей.
А вы обязуетесь мне в первый день за 100000 рублей выплатить 1 копейку, во второй день – 2 копейки, и так каждый день будете увеличивать предыдущее количество денег в 2 раза.

-Ребята, кто может сформулировать тему нашего сегодняшнего урока?

Тема:
«Геометрическая прогрессия. Сумма n- первых членов геометрической прогрессии».

Дано:
(bn) – геометрическая прогрессия
b1= 1, q=2
Найти S30
Решение:
S30=1+2+4+8+16+…=1073741823 коп = 10737418,23 руб.
Вопрос: для кого был выгоден этот договор?
Вывод?

Неудобно и громоздко!
Проблема: нельзя ли решить эту задачу проще? Можно. Но для этого нужно познакомиться с формулой суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

МЫ С ТОБОЮ ТАК ПОХОЖИ

На первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т.е. 2 зерна, на третью – ещё в 2 раза больше, т.е. 4 зерна, и так далее до 64 – й клетки.
Легенда

Дано: (bn) – геометрическая прогрессия
b1=1, q = 2, n = 64.
Найти: S64
Решение
1) S = 1 + 2 + 22 + 23 +….+ 262 + 263.
2) Умножим обе части на знаменатель прогрессии:
2S = 2 + 22 + 23 +24 +….+ 263 + 264.
3) Вычтем из второго равенства первое и упростим:
2S – S = (2 + 22 + 23 +24 +….+ 263 + 264) –
(1 + 2 + 22 + 23 +….+ 262 + 263) = 264 - 1
Математика – это точная наука. Царь должен отдать
18 446 744 073 709 551 615 зерен.
18 квинтильонов
446 квадрильонов
744 триллиона
73 (миллиарда)
709 миллионов
551 тысячу
615

Индусский царь не в состоянии был выдать Сете обещанную награду. Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться.

Формула суммы n первых членов
геометрической прогрессии, в которой q ≠ 0

Решим задачи (вместе)
а) Дано: (bn)- геометрическая прогрессия.
b1=8, q=1/2.
Найти: S5.
б) Дано: (bn)- геометрическая прогрессия
q=2, S7=635.
Найти: b1 и b7.
в) Дано: (bn)- геометрическая прогрессия
b1=3, q=2, Sn=189.
Найти: n.

Самостоятельная работа
1. Найти сумму 5 первых членов геометрической прогрессии, в которой
b1=4, q=2.
2. Найти первый член геометрической прогрессии, в которой
q=2, S5=93.
3. Найти число n членов геометрической прогрессии, в которой
b1=5, q=2, Sn=635.

Рефлексия
1. Я запомнил, что…
2. Что было легко?
3. Что было трудно?
4. Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5.
5. Что понравилось?
6. Что не понравилось?
7. Какую отметку вы бы себе поставили за работу?