Доверительные интервалы

2. Доверительный интервал для дисперсии:
Где - обратное распределение хи-квадрат

ЗАДАЧА. Получены данные некоторых измерений: 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4. Записать данные в виде вариационного ряда. Определить оценки среднего, дисперсии, и стандартного отклонения, а также построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии на уровне значимости α=0,05.
Решение
вариационный ряд: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.
Стандартное отклонение

Получаем доверительный интервал
для математического ожидания
или
.

Статистическая погрешность
- это половина длины доверительного интервала
Если объем генеральной совокупности велик или не известен, то
Если генеральная совокупность имеет объем N, то

1,6
1,31

Статистическая погрешность частоты равна
если объем генеральной совокупности велик или не известен, и
если генеральная совокупность имеет объем N.

ЗАДАЧА. Психологу крупной торговой сети необходимо определить долю экстравертов среди менеджеров. Для этого были случайно отобраны и протестированы 35 менеджера и выяснилось, что среди них 18 экстравертов. Определить долю экстравертов и ее статистическую погрешность на уровне значимости α=0,02, если а) число менеджеров в торговой сети велико; б) число менеджеров равно 80.
Решение.
Частота (доля экстравертов) равна w=18/35=0,514. По таблице находим
.
Отсюда, если а) число менеджеров в торговой сети велико, то
б) число менеджеров равно 80, то
.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистической гипотезой называется некоторое предположение, которое принимается или отвергается на основании статистических данных.
- нулевая гипотеза
- альтернативная гипотеза
α - уровень значимости (0,01-0,1). Это вероятность того, что отвергнута верная нулевая гипотеза)
- доверительная вероятность
Критерий согласия Пирсона (критерий χ – квадрат).
Пусть имеется несколько показателей
Типичные значения (норма) показателей
Экспериментальные значения (норма) показателей
зависит от двух значений: доверительной вероятности α и числа называемого числом степеней свободы.
Если , то предположение о том, что опытные данные соответствуют нормам, принимается.

Решение.
Записываем школьные показатели профориентации во вторую строчку расчетной таблицы. Согласно городской статистики из 62 школьников склонность к гуманитарным наукам должны проявлять (нормы) 62⋅32% = 19,84 школьника, к математическим – 62⋅27% = 16,74 школьника, к естественным – 62⋅25% = 15,5 школьника и не выявили склонность 62⋅16% = 9,92 школьника. Эти нормы записываем в третью строчку расчетной таблицы. В следующую строку записываем значения критерия, получаем таблицу вида:
По таблице критических значений (ПРИЛОЖЕНИЕ )
следовательно, основная гипотеза принимается, то есть распределение способностей в классах соответствует городскому

Проверка гипотез о равенстве дисперсий