Элементы комбинаторики. Перестановки

Цель:
Рассмотреть некоторые задачи комбинаторики.

Таблица факториалов:
Определение.
Открываем новое
Факториал
Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Обозначение n!
Пример:
Запомни:

Определение.
Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Pn = n!
Открываем новое
Перестановки
Читают «P из n».
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение (без повторений) этих элементов в определенном порядке.

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P8 = 8! = 40 320
Открываем новое
Пример 1
Ответ: 40320.

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?
Решение: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.
Открываем новое
Пример 2
Ответ: 18.
Решение (II способ) 3·3·2·1=18.
Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
Первую цифру можно выбрать тремя способами.(0 не может стоять на первом месте)
После выбора первой цифры останутся три.
Вторую цифру можно выбрать тремя способами.
Третью цифру можно выбрать двумя способами.
Остается приписать одну цифру.
Следовательно, общее число искомых четырехзначных чисел равно произведению

Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?
Решение:
Открываем новое
Пример 3
Ответ: 241920.

На примерах учимся
№1
Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
Ответ: 1)6 способов; 2)120 способов.

На примерах учимся
№2
Сколько различных правильных
(с точки зрения русского языка)
фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении:
«Я пошла гулять»;
«Во дворе гуляет кошка»?
Ответ: 1)6 способов; 2)6 способов.

На примерах учимся
№3
Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника?
Ответ: 24 способа.

На примерах учимся
№736
Ответ: 6 вариантов.
Ольга помнит, что телефон подруги оканчивает­ся цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется пере­брать, чтобы дозвониться подруге.

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:
На примерах учимся
№741
Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:
а) Олег находится в конце ряда;
б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;
в) Олег и Игорь стоят рядом;
а) (Олег находится в конце ряда – фиксируем). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом
б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем

Что изучает комбинаторика?
Кем был введен в математический обиход термин «комбинаторика»?
Какие способы решения комбинаторных задач рассмотрели на уроке?
Что означает запись n!?
Найдите значение выражения
Что называется перестановкой из n элементов?
Ответим на вопросы

Учиться –все равно, что грести против течения ׃ только перестанешь и тебя гонит назад.
Задания для самоподготовки
Выучить: п. 13.3
Выполнить: № 757, 759.