Интегральное исчисление

7.1. Первообразная. Неопределённый и его свойства
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F′(x) = f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением F(x) + C.

Способ подстановки ( метод замены переменных).

Пример.

Разложение дробно - рациональной функции на элементарные дроби по методу неопределённых коэффициентов
P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ
знаменатель которой
Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

Пример. Разложить функцию на элементарные дроби
О т в е т:
Р Е Ш Е Н И Е

Интегрирование простейших элементарных дробей

Пример.

Пример.
Пример.

Общая схема интегрирование рациональных дробей вида
M, N, a, b, c, n - заданные числа - параметры

Пример

Пример Найти I =
Т.к. дробь неправильная, то
предварительно следует выделить у нее целую часть:
I

R - рациональная функции от переменных sin x и cos x.
Вычисляется
,
.