Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Слайд 3

Доказательство  Пусть нам дана прямая a и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит

Доказательство Пусть нам дана прямая a и точка М. Докажем, что существует
через точку М и которая ┴ прямой а. Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М  ∈ плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Задача 133

Слайд 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
только одна.

Слайд 5

Доказательство.
Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через

Доказательство. Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно
точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.
Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b– линия пересечения плоскостей α и γ.

Слайд 6

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.
Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.
плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.
Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1 пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Имя файла: Теорема-о-прямой,-перпендикулярной-к-плоскости.pptx
Количество просмотров: 47
Количество скачиваний: 0