Инварианты. Систематизация задач на инварианты по типам

Актуальность
Этот проект является продолжением работы, начатой в прошлом году. Мы познакомились с понятием инварианта, изучили историю задач, связанных с инвариантами. Так же мы выяснили, что при решении таких задач возникает, много трудностей и решили попробовать классифицировать их так, чтобы по возможности упростить решение.

Цель и Задачи
Цель: Систематизировать задачи на инварианты по типам и исследовать решение каждого типа
Задачи: 1. Решить ряд задач и подробно исследовать способы решения
2. Разделить задачи на инварианты по типам
3. Для каждого типа составить определенный метод решения

Определение
Инвариа́нт — это свойство некоторого класса, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа. Синонимы: независимость, неизменность, симметричность, симметрия

Основоположник
Дави́д Ги́льберт (23 января 1862 — 14 февраля 1943) - немецкий математик-универсал, который внёс значительный вклад в развитие многих областей математики (включая теорию инвариантов).

В ходе работы мы выяснили, что для решения некоторых задач на инварианты нужно знать материал темы «Чет и нечет», поэтому считаем нужным, занести информацию из этой темы в наш проект:
Формула записи :
Четность – х
Нечетность – х+1/х-1
Арифметика Чета и Нечета:
Чет + Чет = х + х = 2х
Чет + Нечет = х + х + 1 = 2х + 1
Нечет + Нечет = х + 1 + х + 1 = 2х + 2 = 3х

Инвариантные задачи можно разделить на группы по виду начальных данных:
1) В задаче требуется доказать, что существует некий инвариант, причем он явно задан в условии.
2) В задаче ничего не говорится и не намекается на инварианты - их надо увидеть самостоятельно.

Социологический опрос
Мы провели социологический опрос среди участников 6А класса. В опросе принимало участие 25 человек.
На вопрос «Знаете ли вы, что такое инвариант?» ответили :
«да»- 64% (16чел.)
«нет» – 36% (9чел.)

Социологический опрос
На вопрос «Встречались ли вам инварианты в жизни?» ответили :
«нет» - 40% (10чел.)
«да» - 60% (15чел.)

Виды задач на инварианты:
1) Задачи на четность
2) Задачи на делимость
3) Задачи с полуинвариантами
4) «Шахматные» задачи
5) Задачи, неподходящие к первым четырем типам

Задача на четность
На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение:
1) После первого подхода платков останется нечетное количество (19 или 21)
2) После следующего шага четность меняется (18,20,22)
3) Соответственно после 17 шагов останется нечетное количество платков, поскольку 17 – нечетное число.

Задача на делимость
Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение:
1) Представим полученные числа в виде а и 2а.
2) Соответственно по признаку делимости на три, мы можем сказать, что сумма этих чисел будет делиться на три (а + 2а= 3а : 3 = а), то есть сумма всех чисел должна делиться на 3, чтобы на поставленный вопрос ответить «Да».
3) 2+3+4+5+6+7+8+9=44 не делится на 44, а значит составить такие числа нельзя.

Задача с полуинвариантами:
Полуинвариант – это величина, которая изменяется монотонно, то есть только увеличивается или только уменьшается (что и есть главным при решении подобных задач)

Задача с полуинвариантом:
В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение:
1) Первый вариант переливания:
В сосуде А чётное число литров (2х). В сосуде В чётное число литров (2у). После переливания в сосуде А 2х-2у=2(х-у) литров (чётное число). В сосуде В 2у+2у=4у литров (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.
2) Второй вариант переливания:
В сосуде А нечётное число литров 2х+1. В сосуде В чётное число литров 2у. После переливания в сосуде А 2х+1-2у=2(х-у)+1 литров (нечётное число). В сосуде В 2у+2у=4у литров. (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.

Решение:
3) Третий вариант переливания:
В сосуде А чётное число литров 2х. В сосуде В нечётное число литров 2у+1. После переливания в сосуде А 2х-(2у+1)=2х-2у-1=2(х-у)-1 литров (нечётное число). В сосуде В 2у+1+2у+1=4у+2=2(2у+1) литров (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.
4) Четвертый вариант переливания:
В сосуде А нечётное число литров 2х+1. В сосуде В нечётное число литров 2у+1. После переливания в сосуде А 2х+1-(2у+1)=2х+1-2у-1=2(х+у) литров (чётное число). В сосуде В 2у+1+2у+1=4у+2=2(2у+1) литров (чётное число). Число чётных литров увеличилось на 2, а нечётных уменьшилось на 2.

«Шахматная» задача
На шахматной доске стоит черный слон и белая ладья. Белые, как и положено, ходят первыми. Могут ли черные выиграть, и если да, при какой тактике (оба игрока стараются выиграть)?

Решение:
Слон может ходить только по клеткам одного цвета, и если ладья все время будет ходить на клетки противоположного цвета, то у слона не будет шанса победить. (Это и есть инвариант этой задачи)

Задачи, неподходящие к первым четырем типам:
Так же существуют задачи на инварианты, которые не подходят к вышеперечисленным типам. Это происходит, поскольку существует огромное множество типов этих задач, но они редко используются в математике.

Вывод:
1) Мы увидели множество разных типов задач на инварианты. Самые распространенные типы мы представили в этом проекте
2) Для каждого типа задач на инварианты мы представили определенный метод решения