Исходные понятия теории множеств

Содержание

Слайд 2

Дискре́тная матема́тика — часть математики, изучающая дискретные — часть математики, изучающая дискретные математические структуры —

Дискре́тная матема́тика — часть математики, изучающая дискретные — часть математики, изучающая дискретные
часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы и утверждения в логике.
В контексте математики в целом дискретная математика часто отождествляется с конечной математикой — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы, конечные группы — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы, конечные группы, конечные автоматы[

Слайд 3

Исходные понятия теории множеств

Понятие множества, подмножества, собственного подмножества

Исходные понятия теории множеств Понятие множества, подмножества, собственного подмножества

Слайд 4

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий.

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий.
Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918). Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так:
Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Слайд 5

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами.
Если элемент x принадлежит множеству A,

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент x принадлежит множеству A,
то это обозначается:
х∈А

Если каждый элемент множества B является также и элементом множества A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A или включается в него: B⊂A.

Например, множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество {0,1,2} – подмножеством множества {0,1,2,3}.

Слайд 6

Пустое множество
Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество- множество,

Пустое множество Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество-
не содержащее ни одного элемента.
Вот что говорит о пустом множестве П.С. Александров: «Пустое множество, по определению, не содержит элементов; число элементов пустого множества есть нуль»
Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.
Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, т.к. может быть какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Полярный круг.

Слайд 7

Пустое множество является частью любого множества.
Это множество настолько важное, что для

Пустое множество является частью любого множества. Это множество настолько важное, что для
него даже придумали особый символ: ∅
Символ для пустого множества только один, потому что пустое множество единственно.
В самом деле, предположим, что существуют два разных пустых множества. Но что значит, что множества разные? Это значит, что в одном из них найдется элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах вообще элементов нет!

Слайд 8

Определенные, конечные, бесконечные множества

Множество считается определенным, если указаны все его элементы. Эти

Определенные, конечные, бесконечные множества Множество считается определенным, если указаны все его элементы.
элементы могут быть указаны с помощью некоторого общего признака или с помощью некоторого списка, где обозначены все элементы.
Последний способ возможен только в том случае, если множество имеет конечное число элементов.
Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.
Основной характеристикой конечного множества является число его элементов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.
Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.

Слайд 9

Пример

Множество натуральных чисел является бесконечным.
Упорядоченное множество - множество, каждому элементу

Пример Множество натуральных чисел является бесконечным. Упорядоченное множество - множество, каждому элементу
которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.
Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке.

Слайд 10

различные способы задания множеств
Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в

различные способы задания множеств Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком
классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в атласе, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.
Но этот способ применим только к конечным множествам, но и то не ко всем.
Пример: Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком.
В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства. Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые обладают данным свойством.
Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

Слайд 11

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям:
Может случиться, что два

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям: Может случиться, что
различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.
Пример: Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.

Слайд 12

Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех

Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех
же элементов.
Пример: Равными являются все пустые множества.
Равенство множеств А и В записывают в виде А=В. Отношение "=" называется отношением равенства.
Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В.
То, что множество А является подмножеством множества В обозначают так А⊂В
Данное отношение называется отношением включения.
Таким образом, подмножеством данного множества В является и само множество В.
Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.

Слайд 13

На диаграмме Эйлера-Венна

утверждение "множество А является подмножеством множества В" изображают так

На диаграмме Эйлера-Венна утверждение "множество А является подмножеством множества В" изображают так

Слайд 14

Основные теоретико-множественные операции

1. Объединение
2. Пересечение
3. Разность
4. Дополнение.

Основные теоретико-множественные операции 1. Объединение 2. Пересечение 3. Разность 4. Дополнение.

Слайд 15

Объединение

Объединением двух множеств называется новое множество

Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного

Объединение Объединением двух множеств называется новое множество Суммой, или объединением произвольного конечного
множества
множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Слайд 16

Пересечение

Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех

Пересечение Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из
и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечением двух множеств называется новое множество

Слайд 17

Разность

Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из

Разность Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов
В, не являющихся элементами множества А.

Разностью двух множеств называется новое множество

Слайд 18

Дополнение

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то дополнением

Дополнение Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то
множества называют разность

Дополнением
множества А до универсума
называется разность
где А является подмножеством универсального множества
Дополнение множества обозначается через СА.

Слайд 19

На диаграмме Эйлера-Венна дополнение множества А выглядит так

На диаграмме Эйлера-Венна дополнение множества А выглядит так

Слайд 27

Алгебраические свойства операций над множествами

Т. 1.1. Для любых подмножеств А, В и

Алгебраические свойства операций над множествами Т. 1.1. Для любых подмножеств А, В
С универсального множества U справедливы следующие тождества:
АU(ВUС)=(АUВ)UС. А∩(В∩С)=(А∩В)∩С.
АUВ=ВUА. А∩В=В∩А
АU(В∩С)=(АUВ)∩(АUС). А∩(ВUС)=(А∩В)U(А∩С)
АU∅=А. А ∩U=А
АU¬А=U А ∩¬А=∅
Имя файла: Исходные-понятия-теории-множеств.pptx
Количество просмотров: 47
Количество скачиваний: 0