Исходные понятия теории множеств

Дискре́тная матема́тика — часть математики, изучающая дискретные — часть математики, изучающая дискретные математические структуры — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы и утверждения в логике.
В контексте математики в целом дискретная математика часто отождествляется с конечной математикой — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы, конечные группы — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы, конечные группы, конечные автоматы[

Исходные понятия теории множеств
Понятие множества, подмножества, собственного подмножества

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918). Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так:
Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами.
Если элемент x принадлежит множеству A, то это обозначается:
х∈А
Если каждый элемент множества B является также и элементом множества A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A или включается в него: B⊂A.
Например, множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество {0,1,2} – подмножеством множества {0,1,2,3}.

Пустое множество
Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.
Вот что говорит о пустом множестве П.С. Александров: «Пустое множество, по определению, не содержит элементов; число элементов пустого множества есть нуль»
Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.
Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, т.к. может быть какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Полярный круг.

Пустое множество является частью любого множества.
Это множество настолько важное, что для него даже придумали особый символ: ∅
Символ для пустого множества только один, потому что пустое множество единственно.
В самом деле, предположим, что существуют два разных пустых множества. Но что значит, что множества разные? Это значит, что в одном из них найдется элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах вообще элементов нет!

Определенные, конечные, бесконечные множества
Множество считается определенным, если указаны все его элементы. Эти элементы могут быть указаны с помощью некоторого общего признака или с помощью некоторого списка, где обозначены все элементы.
Последний способ возможен только в том случае, если множество имеет конечное число элементов.
Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.
Основной характеристикой конечного множества является число его элементов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.
Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.

Пример
Множество натуральных чисел является бесконечным.
Упорядоченное множество - множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.
Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке.

различные способы задания множеств
Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в атласе, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.
Но этот способ применим только к конечным множествам, но и то не ко всем.
Пример: Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком.
В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства. Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые обладают данным свойством.
Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям:
Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.
Пример: Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.

Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
Пример: Равными являются все пустые множества.
Равенство множеств А и В записывают в виде А=В. Отношение "=" называется отношением равенства.
Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В.
То, что множество А является подмножеством множества В обозначают так А⊂В
Данное отношение называется отношением включения.
Таким образом, подмножеством данного множества В является и само множество В.
Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.

На диаграмме Эйлера-Венна
утверждение "множество А является подмножеством множества В" изображают так

Основные теоретико-множественные операции
1. Объединение
2. Пересечение
3. Разность
4. Дополнение.

Объединение
Объединением двух множеств называется новое множество
Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества
множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Пересечение
Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Пересечением двух множеств называется новое множество

Разность
Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В, не являющихся элементами множества А.
Разностью двух множеств называется новое множество

Дополнение
Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то дополнением множества называют разность
Дополнением
множества А до универсума
называется разность
где А является подмножеством универсального множества
Дополнение множества обозначается через СА.

На диаграмме Эйлера-Венна дополнение множества А выглядит так

Алгебраические свойства операций над множествами
Т. 1.1. Для любых подмножеств А, В и С универсального множества U справедливы следующие тождества:
АU(ВUС)=(АUВ)UС. А∩(В∩С)=(А∩В)∩С.
АUВ=ВUА. А∩В=В∩А
АU(В∩С)=(АUВ)∩(АUС). А∩(ВUС)=(А∩В)U(А∩С)
АU∅=А. А ∩U=А
АU¬А=U А ∩¬А=∅