Комбинаторика

- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
о

Комбинаторные задачи.

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА –
это задача, требующая осуществления
перебора всех возможных вариантов
или подсчета их числа.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Способы решения
комбинаторных задач
Перебор вариантов
Дерево возможных вариантов
По правилу умножения
Чтобы процесс перебора возможных вариантов был удобным и наглядным, делают это таблицей или схемой.
Способы решения (перебор вариантов и дерево возможных вариантов) применяют тогда, когда элементов перебора немного.

У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
Замечание. При решении для краткости будем писать первые буквы имен.

Составим сначала все пары, в которые входит Вера.
ВЗ, ВМ, ВП, ВС
Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера.
Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя.
Еще одна пара
ЗМ, ЗП, ЗС
МП, МС
ПС
Всего существует 4+3+2+1=10
Решение
Ответ:10 вариантов
Вера
Зоя
Марина
Полина
Света
Получим 4 пары.
Таких пар три.
Их две.
Далее составим пары, в которые входит Полина.

Задача 2. Буратино пришел в школу и встретил своих друзей Артемона, Пьеро, Мальвину. Они все обменялись рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий было?
Решение.
А
Б П
М
Граф – дерево.
БА; БП; БМ; АП; АМ; ПМ – метод перебора.
3 + 2 + 1 = 6
Ответ: 6.

№4 Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Проверим решение
Ответ: 6 способов

Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
ш
ж
б
м

Решение
Всего 3+2+1=6
Ответ:6 вариантов
ш
ш
ш
ж
ж
б
б
б
ж
м
м
м

Приемы решения комбинаторных задач дерево возможных вариантов
Решим аналогичную задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись. Для её решения построим схему - дерево возможных вариантов.
число
1
4
7
4
4
7
7
1
1
7
7
1
1
4
4
Ответ: числа 147;174;417;471;714;741
6 чисел (вариантов)

Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению

У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
Решение. 3·5 = 15
комбинаторное правило умножения

Решите задачу, используя
дерево возможных вариантов и правило умножения
В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет?
Л
В
К
М

Ответ: 12 вариантов
Решение
М
В
К
Л

Ответим на вопросы:
С каким разделом математики вы сегодня познакомились?
Какие задачи вы сегодня учились решать?
Назовите методы решения комбинаторных задач.