Конус. Виды конусов. Сечения конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
РМК - конус

Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса.
Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием — высотой конуса.
Все образующие конуса равны друг другу.

Р – вершина конуса
РМ – образующая конуса
РО – высота конуса (ось)
Круг L – основание конуса
МО – радиус основания

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.
При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.
Смотреть анимацию

Сечения конуса
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса.
Это сечение называется осевым.
АВС – осевое сечение

Сечения цилиндра
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О1, расположенным на оси конуса.
Радиус этого круга, можно найти из подобия треугольников AOM и AO1M1:

Наклонный конус
В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только прямые круговые конусы (называя их просто конусы), хотя бывают и другие.
Если ось конуса не перпендикулярна основанию, то такой конус называется наклонным.

Конус в природе
Египетская пустыня

Конус в природе

Конус в архитектуре
Библиотека Делфотского технического университета, Южная Голландия, Нидерланды.

Конус в архитектуре
Midrand Water Tower, South Africa
На 6 000 000 литров — крупнейшая водонапорная башня в Южном полушарии. В основе диаметр конуса 4 метра, на высоте ствол — 10 метров.

Конус в архитектуре
«Вигвам» – название американской сети мотелей с уникальными номерами в форме типи. Они были построены в 1930-х годах.

Конус в архитектуре
Гигантский конус Кафедрального собора Пресвятой Девы Марии в Маринге архитектора Жозе Аугусто Беллуччи.

Конус в жизни
Солнечная электростанция из конусов

Площадь боковой поверхности конуса
Sбок = Пrl
r- радиус основания
l - образующая

Площадь полной поверхности конуса
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.
Так как площадь основания равна πr2, то для вычисления площади полной поверхности конуса получаем формулу:

Решение задач
Задача.
Дано: конус, угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6 см.
Найти: площадь боковой поверхности конуса.
Решение задачи

Решение задач
Решение:
Угол АРО=45ᵒ.
Рассмотрим треугольник АРО – прямоугольный, угол АРО=45ᵒ, значит угол РАО=45ᵒ.
Выразим катет AO в треугольнике APO:
r=l · cos45ᵒ = 3 2
Подставим числа в формулу:

Список источников содержания и иллюстраций
Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008-2014
Иллюстрации:
http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29732/10f55dcbffa6601dcada7afa2a199564.png
http://math2.ru/images/2/22/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%83%D1%81.jpg
http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/38178/22adbad0_f319_0130_2dbe_22000a1c9e18.jpg
http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/38179/23960320_f319_0130_2dbf_22000a1c9e18.jpg
http://egemaximum.ru/wp-content/uploads/2013/08/ch1.jpg
https://lh4.googleusercontent.com/-hpd3quMjyXM/T0y139a4zLI/AAAAAAAAIoc/wnlfMp38YWQ/s1600/konus_vraschenie.gif