Слайд 2ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа
![ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-1.jpg)
заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур
Слайд 3В истории развития учения о кривых этот способ является первым. Греки определяли
![В истории развития учения о кривых этот способ является первым. Греки определяли](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-2.jpg)
кривые второго порядка как сечения кругового конуса.
Таково же происхождение кривых Персея, получаемых в результате сечений плоскостью поверхности тора. Эвольвента круга может быть определена как линия пересечения поверхности касательных к винтовой линии, перпендикулярной к её оси и т.д.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической.
Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
Слайд 5Окружность' — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром,
![Окружность' — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-4.jpg)
на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Окружность' - Геометрическая фигура на плоскости, образованная множеством точек, равноудалённых от данной (её центра).
Слайд 7Эллипс (др.-греч. — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) —
![Эллипс (др.-греч. — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) —](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-6.jpg)
геометрическое место точек M Евклидовой плоскости.
Для которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть
| F1M | + | F2M | = 2a, причем | F1F2 | < 2a.
Слайд 8Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является
![Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-7.jpg)
коническим сечением и квадрикой.
Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.
Слайд 10Парабола (греч. — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой
![Парабола (греч. — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-9.jpg)
(называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы)
Слайд 11Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в
![Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-10.jpg)
её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
Директриса — прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету
Слайд 12Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть
![Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-11.jpg)
определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Слайд 14Гипербола (др.-греч. — «бросать», «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости,
![Гипербола (др.-греч. — «бросать», «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-13.jpg)
для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно. Точнее,│|F1M| ─ |F2 M|│= 2a
причем | F1 F2 | > 2a > 0.
Слайд 15Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола
![Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-14.jpg)
может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.
Квадрика — проективное алгебраическое многообразие, которое можно задать однородным квадратным уравнением
Слайд 16Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом.
Существует три
![Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-15.jpg)
главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых.
Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
Слайд 17Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие
![Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1176546/slide-16.jpg)
варианты:
вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;
пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;
вырожденная парабола — при условии D = 0:
пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;
одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;
пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.