L1-1

матрицы
Определение матрицы
Виды матрицы
Равенство матриц
Сложение матриц
Умножение матрицы на число
Умножение матриц

Определение матрицы
Прямоугольная таблица,
составленная из m x n чисел,
называется матрицей.
Для обозначения матрицы
применяются круглые
скобки и прописные буквы A,
B, C …
Числа a11, a12, … , amn,
составляющие матрицу,
называются
её элементами.
Общий вид записи матрицы из m x n чисел:

Горизонтальные ряды матрицы называются строками
матрицы
вертикальные - столбцами.
Индексы i и j элемента aij, где i=1, 2, …, m, j=1,2, ..., n,
означают, что этот элемент расположен в i-й строке и j-м
столбце.
Матрица обозначается также в форме A(aij)mxn, где i=1, 2, …,
m, j=1, 2, …, n.

Виды матриц
Квадратная матрица
Диагональная матрица
Единичная матрица
Матрица-строкаМатрица-строка Матрица-строка и матрица-столбец
Транспонированная матрица

Квадратная матрица
Матрица, у которой
число строк равно
числу ее столбцов
называется
квадратной матрицей.
При этом число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.

Числа a11, a22, …, amm образуют
главную диагональ матрицы,
а числа am1, a(m-1)2, …, amm - побочную диагональ.
Квадратная матрица

Диагональная матрица
Квадратная матрица, у которой
все числа, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА
Диагональная матрица, у которой
все элементы главной диагонали равны единице,
называется единичной матрицей.
Единичную матрицу обозначают прописной буквой Е.
Е

Матрица-строка
Матрица, состоящая только
из одной строки,
называется
матрицей-строкой.
Матрица, состоящая только
из одной строки,
называется
матрицей-столбцом.
Матрица-столбец

Транспонированная матрица
Матрица называется транспонированной по отношению к матрице А, если
столбцы матрицы
являются соответствующими
строчками матрицы.

РАВЕНСТВО МАТРИЦ
Две матрицы А и В называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и равные соответствующие элементы.

СУММА МАТРИЦ
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинаковой размерностью mxn называется матрица С=(cij) = A(aij)+B(bij) тех же размеров , что и заданные матрицы, элементы которой определяются правилом для всех cij=aij+bij, для всех i=1, 2, … , m, и j=1, 2, … , n.
Сумма матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. А+В=В+А и (А+В)+С=А+(В+С).

СУММА МАТРИЦ

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A=(aij) размеров mxn на число k называется матрица B=(bij) тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом bij=kaij, для всех i=1, 2, … , m, и j=1, 2, … , n.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Пусть заданы матрица А размеров mxn и матрица В размеров nxp, т.е. такие, что число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. Выберем строку с номером i из матрицы А и столбец с номером j из матрицы В. Умножим каждый элемент ai1, ai2, …, ain выбранной строки на соответствующий элемент b1j, b2j, …, bnj выбранного столбца и сложим полученные произведения, т.е. составим сумму cij= ai1 b1j+ ai2 b2j+…+ ain bnj.

Произведением матрицы А размеров mxn на матрицу В размеров nxp называется матрица размеров mxp , элементы которой определяются по формуле
cij= ai1 b1j+ ai2 b2j+…+ ain bnj
для всех i=1, 2, … , m, и j=1, 2, … , p.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ