Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений

Решение системы уравнений.

Перестановка уравнений
Вычеркивание из системы нулевых уравнений
Умножение обеих частей одного из уравнений системы на число, не равное нулю
Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения.
Элементарные преобразования

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных

Метод Гаусса

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, получим систему уравнений, в которой для каждого уравнения имеется неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, равным единице, а в остальные уравнения – с коэффициентом 0.
Метод Гаусса

Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется базисным, а весь набор базисных неизвестных – базисом неизвестных. Остальные неизвестные называются свободными.

Пример 1. Решить систему уравнений

В результате преобразований Гаусса получим таблицу:

Однородные системы линейных уравнений

Однородная система всегда совместна: одно из её решений – нулевое.
Теорема. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений.

Решим систему методом Гаусса

Перейдем к записи системы уравнений

Действия над векторами

Действия над векторами

Определение.

Системы векторов в линейном пространстве

Определение

Пример

Определения.

Линейная независимость векторов.

Пример.

Решение.

Базис линейного пространства

Пример.

Основные утверждения.

Примеры.

Ранг и базис системы векторов.

Пример.

Евклидовы пространства.

Ортогональные системы векторов