Методы корреляционно-регрессионного анализа фондового рынка

Определение параметров уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов

При использовании МНК к ошибкам предъявляются следующие требования, называемые условиями Гаусса - Маркова:
1) величина является случайной переменной;
2) математическое ожидание равно нулю: М( ) = 0;
3) дисперсия постоянна: D( ) = для всех i;
4) значения независимы между собой. Откуда вытекает, в
частности, что
5) величины статистически независимы от значений .

Критерии значимости коэффициентов и в уравнении регрессии.
Коэффициент детерминации
.

При оценке значимости коэффициента линейной регрессии можно использовать следующее грубое правило. Если стандартная ошибка коэффициента больше его модуля, т.е. t < 1, то он не может быть признан хорошим (значимым). Если стандартная ошибка мень­ше модуля коэффициента, но больше его половины, т.е. 1 < t < 2, то сделанная оценка может рассматриваться как более или менее зна­чимая. Доверительная вероятность здесь примерно от 0,7 до 0,95. Значение t от 2 до 3 свидетельствуете весьма значимой связи (доверительная вероятность от 0,95 до 0,99), и t > 3 есть практически стопроцентное свидетельство ее наличия. Конечно, в каждом случае играет роль число наблюдений; чем их больше, тем надежнее при прочих равных условиях выводы о наличии связи и тем меньше верхняя граница доверительного интервала для данных числа степеней сво­боды и уровня значимости.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (разброса) зависимой перемен­ной, объясненной с помощью данного уравнения. В качестве меры разброса зависимой переменной обычно используется ее дисперсия, а остаточная вариация может быть измерена как дисперсия откло­нений вокруг линии регрессии. Если числитель и знаменатель вы­читаемой из единицы дроби разделить на число наблюдений n, то получим, соответственно, выборочные оценки остаточной диспер­сии и дисперсии зависимой переменной Y. Отношение остаточной и общей дисперсий представляет собой долю необъясненной диспер­сии. Если же эту долю вычесть из единицы, то получим долю дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью регрес­сии.

Иногда при расчете коэффициента детерминации для получе­ния несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе вы­читаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы; тогда

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации проверяется нулевая гипотеза для F-статистики, рассчитываемой по формуле:
Величина F, если предположить, что выполнены предпосылки относительно отклонений , имеет распределение Фишера с (m; n-m-1) степенями свободы, где m - число объясняющих переменных, n - число наблюдений.

Гетероскедастичность.
Если остатки имеют постоянную дисперсию, они называются гомоскедастичными, но если они непостоянны, то гетероскедастичными.
Гетероскедастичность приводит к тому, что коэффи­циенты регрессии больше не представляют собой лучшие оценки или не являются оценками с минимальной дисперсией, следовательно, они больше не являются наиболее эффективными коэф­фициентами.
Проверкой на гетероскедастичность служит тест Голдфелда-Кванта. Он требует, чтобы остатки были разделены на две груп­пы из n наблюдений, одна группа с низкими, а другая - с высо­кими значениями. Обычно срединная одна шестая часть наблю­дений удаляется после ранжирования в возрастающем порядке, чтобы улучшить разграничение между двумя группами.

Гетероскедастичность
Критерий Голдфелда-Кванта - это отношение суммы квадра­тов отклонений (СКО) высоких остатков к СКО низких остатков:
Этот критерий имеет F-распределение с (n-d)/2-k степе­нями свободы.
Чтобы решить проблему гетероскедастичности, нужно иссле­довать взаимосвязь между значениями ошибки и переменными и трансформировать регрессионную модель так, чтобы она отра­жала эту взаимосвязь.

Автокорреляция.

Автокорреляция
Автокорреляция, также известная как сериальная корреляция, имеет место, когда остатки не являются независимыми друг от друга, потому что текущие значения Y находятся под влиянием прошлых значений. Зависимость между остатками описывается с помощью авторегрессионной зависимости. Эмпирическое правило гласит, что если критерий Дарбина-Уотсона равен двум, то не существует положительной автокор­реляции, если он равен нулю, то имеет место совершенная по­ложительная автокорреляция, а если он равен четырем, то имеет место совершенная отрицательная автокорреляция. Если статистика DW находится в интервале от 1.3 до 2.7 мы можем считать, что статистическая значимая автокорреляция остатков отсутствует.

Мультиколлинеарность
Если некоторые или все независимые переменные в множест­венной регрессии являются высоко коррелированными, то рег­рессионной модели трудно разграничить их отдельные объяс­няющие воздействия на Y. В результате высококоррелирован­ные независимые переменные действуют в одном направле­нии и имеют недостаточно независимое колебание, чтобы дать возможность модели изолировать влияние каждой пере­менной. Не существует точного граничного значения уровня корреляции переменных, при котором возникает проблема мультиколлинеарности. Это явление особенно часто имеет место при ана­лизе фондовых переменных, таких, как доходность и объемы продаж, когда инфляция, например, может повлиять на оба временных ряда.

Для уменьшения мультиколлинеарности может быть принято несколько мер:
Увеличивают объем выборки по принципу, что больше данных означает меньшие дисперсии оценок МНК. Проблема реализации этого варианта решения состоит в трудности на­хождения дополнительных данных.
Исключают те переменные, которые высококоррелированны с остальными. Проблема здесь заключается в том, что возможно переменные были включены на теоретической основе, и будет неправомочным их исключение только лишь для того, чтобы сделать статистические результаты "лучше".

Фиктивные переменные
Иногда необходимо включение в регрессионную модель одной или более качественных переменных, например, степени качества управления инвестиционным портфелем. Альтернативно может понадобиться сде­лать качественное различие между наблюдениями одних и тех же данных. Например, если проверяется взаимосвязь между разме­ром компании и ежемесячными доходами по акциям, может быть желательным включение качественной переменной, представ­ляющей месяц январь, по причине хорошо известного "январского эффекта" во временных рядах доходов по ценным бумагам.

Нелинейная регрессия.
Интервал прогнозирования:

Выявление наличия корреляционной связи между парой показателей и оценка ее тесноты.
линейный (парный) коэффициент корреляции:
Для качественной оценки коэффициента корреляции применяют­ся различные шкалы, наиболее часто - шкала Чеддока. В зависи­мости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок:
0.1 - 0.3 - слабая;
0.3 - 0.5 - заметная;
0.5 - 0.7 - умеренная;
0.7 - 0.9 - высокая;
0.9 - 1.0 - весьма высокая.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием t-критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Его положительные значения свидетельствуют о пря­мой связи между переменными, отрицательные - об обратной. Близость коэффициента корреляции к нулю свидетельствует о сла­бой связи между переменными и о нецелесообразности ее моде­лирования. Следует отметить, что величина коэффициента корреляции не является доказательством того, что между исследуемыми призна­ками существует причинно-следственная связь, а представляет собой оценку степени взаимной согласованности в изменениях при­знаков. Для того чтобы установить причинно-следственную зави­симость, необходим анализ качественной природы явлений.

Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t-критерия Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n - 2).
Если tнабл > tтаб, то полученное значение коэффициента корре­ляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утвержда­ющая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми пере­менными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Матрица коэффициентов парной корреляции

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции исполь­зуют при построении моделей множественной регрессии. Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:
1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.
Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициен­тов множественной и частной корреляции.

Множественный коэффициент корреляции

Решение первой задачи (определение тесноты связи одной слу­чайной величины с совокупностью остальных величин, включен­ных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффици­ента множественной корреляции по формуле, где |R| - определитель корреляционной матрицы R; - алгебраическое дополнение
элемента той же мат­рицы R.
Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случай­ных величин, но не о ее направлении.

Частный коэффициент корреляции
Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции час­тично сказывается влияние других величин. В связи с этим возни­кает необходимость исследования частной корреляции между ве­личинами при исключении влияния других случайных вели­чин (одной или нескольких).
Частный коэффициент корреляции определяется по формуле:

Частный коэффициент корреляции